Bsp 298

[Flowyes]

so, schon wieder sitze ich vor den neuen beispielen :)
hat hier wer probleme? konvergenz gilt aber absolute konvergenz gilt nicht, ist meine lösung.

[JayJay]

ich komm auf die selbe lösung
mit leibniz sollte das beispiel leicht zu lösen sein.

mfg

[Flowyes]

genau, wenn man die ersten paar glieder aufschreibt sieht man, dass die folge der alternierenden reihenelemente gegen 0 konvergiert. --> reihe konvergiert gegen 0, das ist ja leibniz.
grüße, :)
sini

[Mihi]

so, schon wieder sitze ich vor den neuen beispielen :)
hat hier wer probleme? konvergenz gilt aber absolute konvergenz gilt nicht, ist meine lösung.

Wir kriegen raus, dass auch die abs. Konv. gilt, da ja durch
die | | das -1^n wegfällt (quasi), bleibt 1/sqrt(n^2+2) übrig.
Kann man das jetzt nicht als Hyperharmonische Reihe schreiben - mit
k^a = sqrt(n^2+2)
wenn jetzt das a>1 ist muss die ganze Reihe konvergieren. Beweis über
Induktion...?

Oder wie habts ihr das?

Donke

[wolti]

Wir kriegen raus, dass auch die abs. Konv. gilt, da ja durch
die | | das -1^n wegfällt (quasi), bleibt 1/sqrt(n^2+2) übrig.


Hallo,

Das ist sicher nicht korrekt, dass die absolute Konvergenz gilt. Kann dir sofort das Gegenteil beweisen. Sei

|ak| = 1/sqrt(n^2+2)

Ich suche eine divergente Minorante.



1
|ak| = -------------
sqrt(n^2 + 2)

1
bk = ----------------
sqrt(n^2 + n^2) <= Das ist sicher größer als n^2 + 2 -> Daher bk kleiner ak

1
bk = ----------
sqrt(2)*n

wir wissen 1/sqrt(2) * summe { 1/n, n, 0, unendlich) ist divergent. Divergente Minorante.


Für den Leibnitz habe ich es so gemacht, dass ich mir die Reihe anschreibe in folgender Form.

Summe { (-1)^n * ak } ist konvergent nach Leibnitz, wenn <ak> eine monton fallende Nullfolge ist. Ich schreibe meine Reihe um:


Summe { (-1)^n * 1/sqrt(n^2+2) } => <ak> = < 1/sqrt(n^2+2) >

Beweis: lim ak sei 0.

lim ak sei a.
lim ak * lim ak = lim ak*ak = a^2
ak*ak = 1/(n^2+2)

1 1/n^2
lim ------- = ---------- = 0/1 = 0 => a =0
n^2 + 2 1 + 2/n^2


Beweis (Monotonie). Das braucht man daher, falls die Folge ak meiner Meinung nach nicht
momonton ist. Sie könnte ja 0 als HP haben. Muss man hier aber glaube ich nicht beweisen.

Grüße,
Wolti

[Flowyes]

das beispiel hab ich mir nochmals angeschaut und ich schließe mich da wolti an. sogar muss man das akzeptieren, denn die argumentation von wolti stimmt...

[Humulus]

Sers,

ich erhalte dass die Reihe divergiert.. stimmt das nun?

ich habe es mit dem Qutientenkriterium gemacht....
nachdem ich mein Ausdruck vereinfacht habe steht folgendes da:

Betrag(-sqrt(k^2+2)/sqrt((k+1)^2+2)) ich konnte ein k finden und zwar
k= 99999999999 und nach einsetzten kam -1 raus somit ist die Bed. für die
konvergenz nicht mehr erfüllt oder??
für noch größere k's kommen noch größere werte raus.

stimmt es??

C YA!

[wolti]

Sers,

ich erhalte dass die Reihe divergiert.. stimmt das nun?

ich habe es mit dem Qutientenkriterium gemacht....
nachdem ich mein Ausdruck vereinfacht habe steht folgendes da:

Betrag(-sqrt(k^2+2)/sqrt((k+1)^2+2)) ich konnte ein k finden und zwar
k= 99999999999 und nach einsetzten kam -1 raus somit ist die Bed. für die konvergenz nicht mehr erfüllt oder??


Hallo,

Wiso setzt du für k Werte ein. Das Problem ist hierbei, dass Der Betrag |-1| = |1| ist. Bei der Limesform des Quotientenkriteriums ist hier keine Aussage mehr möglich. Du kannst sagen es ist divergent wenn der lim_sup > 1 ist, und es ist absolut konvergent wenn er < 1 ist, aber sonst nichts. Das mit einsetzen ist aber meiner Meinung nach keine sehr gute Idee, denn um k groß zu machen nimmst besser den limes für k > +inf.

Grüße,
Wolti

[sebus]

Hi!
Wo finde ich denn im Baron-Buch etwas über Minorante, Majorante?
Thx, Seb

[wolti]

Band 2, Seite 27 (Satz - Vergleichskriterium)

Grüße,
wolti

[Humulus]

hallo

ich verstehe nicht ganze wieso man dass auch mit dem leibnitz überprüfen muss?
C YA!

[wolti]

weil du ja wissen möchtest ob sie konvergent ist die reihe. das sie nicht absolut konvergent ist haben wir ja schon rausgefunden, indem wir eine divergente minorante gefunden habe.
sie ist aber konvergent nach dem kriterium von leibnitz, da die ak eine monoton fallende nullfolge bilden.

grüße,
wolti

[beefy]

Ich weiß, ich bin jetzt ein bissi kontraproduktiv, aber ich check genau überhaupt nix von all dem was ihr da redets, muß aber morgen das Beispiel ausgerechnet haben, da ich mir das mit einer Gruppe so aufgeteilt hab .. Jeder macht ein Beispiel .. Und ich würde nicht gern ohne kommen ...

Falls irgendjemand sich Zeit nehmen könnte und das Beispiel komplett aufschreibt, wäre ich ihm/ihr sehr verbunden!

lg, beefy

[JayJay]

Hallo,

Das ist sicher nicht korrekt, dass die absolute Konvergenz gilt. Kann dir sofort das Gegenteil beweisen. Sei

|ak| = 1/sqrt(n^2+2)

Ich suche eine divergente Minorante.

1
|ak| = -------------
sqrt(n^2 + 2)

1
bk = ----------------
sqrt(n^2 + n^2) <= Das ist sicher größer als n^2 + 2 -> Daher bk kleiner ak

1
bk = ----------
sqrt(2)*n

wir wissen 1/sqrt(2) * summe { 1/n, n, 0, unendlich) ist divergent. Divergente Minorante.
Für den Leibnitz habe ich es so gemacht, dass ich mir die Reihe anschreibe in folgender Form.

Summe { (-1)^n * ak } ist konvergent nach Leibnitz, wenn <ak> eine monton fallende Nullfolge ist. Ich schreibe meine Reihe um:
Summe { (-1)^n * 1/sqrt(n^2+2) } => <ak> = < 1/sqrt(n^2+2) >

Beweis: lim ak sei 0.

lim ak sei a.
lim ak * lim ak = lim ak*ak = a^2
ak*ak = 1/(n^2+2)

1 1/n^2
lim ------- = ---------- = 0/1 = 0 => a =0
n^2 + 2 1 + 2/n^2
Beweis (Monotonie). Das braucht man daher, falls die Folge ak meiner Meinung nach nicht
momonton ist. Sie könnte ja 0 als HP haben. Muss man hier aber glaube ich nicht beweisen.

Grüße,
Wolti


also im allgemeinen schliess ich mich auch an, aber ich hab den leibniz etwas einfacher gezeigt, also das a_n monoton fallend ist:

< a_n > = < 1/sqrt(n^2 + 2) > ....... dies ist unsere folge und wir sollen beweisen das sie monoton fallend ist:

ich zeige einfach, dass das (n+1)te glied kleiner ist als das n'te glied, und zwar für alle n >= 0 (naja eigentlich reicht es wenn ich es ab einem bestimmten n zeige, dann waers schliesslich monoton fallend, aber wir werden sehen das es bei unserem beispiel für alle unsere n gilt):

1/sqrt[(n+1)^2 +2] < 1/sqrt(n^2 +2) ...... nun nehme ich die kehrwerte
sqrt[(n+1)^2 +2] > sqrt(n^2 +2) ...... jetzt quadriere ich beide seiten
(n+1)^2 + 2 > n^2 +2 ...... jetzt forme ich die ungleichung fertig um und erhalte:
n > (-1)
das heisst: das (n+1)te glied ist kleiner als das n'te glied für alle n > (-1), naja und genau das wollten wir auch zeigen ;)

mfg JayJay

[JayJay]

Ich weiß, ich bin jetzt ein bissi kontraproduktiv, aber ich check genau überhaupt nix von all dem was ihr da redets, muß aber morgen das Beispiel ausgerechnet haben, da ich mir das mit einer Gruppe so aufgeteilt hab .. Jeder macht ein Beispiel .. Und ich würde nicht gern ohne kommen ...

Falls irgendjemand sich Zeit nehmen könnte und das Beispiel komplett aufschreibt, wäre ich ihm/ihr sehr verbunden!

lg, beefy

hmm, eigentlich steht beim post von wolti eh alles drin.
er hat mit der angabe angefangen und jeden schritt aufgeschrieben.

aber vielleicht noch ein paar hinweise:
es handelt sich um eine alternierende reihe weil sich das vorzeichen bei jedem summanten ändert, also haben wir: + - + - + - ......
das leibniz kriterium gilt eben für diese reihen (also für alternierende reihen)
wenn das leibniz kriterium nun erfüllt ist dann ist die reihe konvergent.
das die reihe nicht absolut konvergent ist zeigst du indem du den betrag nimmst, den kleiner machst und zwar so das du am ende ne reihe bekommst die sicher divergent ist und sicher kleiner ist wie unsere unsprüngliche. das nennt sich eine divergente minorante. wenn du sowas findest dann ist deine ursprüngliche reihe auch sicher divergent.
wenn du nun gezeigt hast das die summe von |a_n| divergent ist dann weisst du bereits das die reihe sicher nicht absolut konvergent ist.

so, das war mal das theoretische zu diesem bsp., wie es praktisch umgesetzt wird steht bereits oben (wolti), liess vorallem genau !!!
das meiste sieht schwer und kopliziert aus aber dabei sind es zumeist eh recht einfache rechenschritte.

mfg JayJay