Bsp. 309

[Schof]

Hallo, hier ist meine Lösung zu Bsp. 309.
Binomialkoeffizient (x n) = x! / (n!*(x-n)!)
d.h für unsere Angabe
Summe(für n>=0) (1/3 n) = Summe (1/3! x^n)/n!*(1/3-n)!

Nun verwende ich das Quotientenkriterium in Limesform; da wir beweisen müssen das die Funktionsreihe im angegebenen Bereich konvergiert. D.h
Wenn ein lim|a_k+1/a_k| < 1 ist konvergiert die Folge. d.h weiter, dass in unsererm Fall der lim = |x| sein muss.

a_k = (1/3!*x^n)/(n!*(1/3-n))!
a_k+1 = (1/3!*x^n+1)/((n+1)!*(1/3-n-1)!

lim|(1/3!*x^n+1*(1/3-n)!*n!)/((n+1)!*(1/3-n-1)!*1/3!*x^n)|
diesen Ausdruck kann man ziemlich zusammenkürzen, indem man die Fakultäten anders ausdrückt übrig bleibt.
lim|((1/3-n)/(n+1))*x|=|x|
deswegen weil (1/3-n)/(n+1) gegen -1 strebt, weil 1/3-n langsamer gegen -unendlich strebt als (n+1) gegen +unendlich strebt. das -1 kann als unwichtig betrachtet werden, da ich ja den Betrag suche und der immer positiv ist, daher |x|. Laut Angabe |x|<1 konvergiert die Fktreihe, was laut Quotientenkriterium stimmt.

Kann sein, dass ich mich da vertue oder stimmt mir wer zu.
P.S. Hab gesehen, dass das ganze ziemlich ähnlich ist wie Wolti's Ansatz am Montag.

[Unic0der]

Habe leider auch noch Verständnisprobleme bei Beispiel 309:

Hier habe ich das selbe problem wie beim 290er. Bis zum Limes check ich das Ding ab, nur dann steig ich aus...

Könntet ihr mir bitte erklären, was folgendes bedeutet, bzw. was genau da geschieht und wieso ich das machen muss?

4/3n -1 >= -1
1 - 4/3n <= 1
4/3n >= 0
3n >= 0
n >= 0

n= 1: 1/3

=> Folge beschränkt im Bereich 1/3; -1

Bitte um Erklärung.
Leute, ich checks echt nicht :(

OS X

[Sensei]

zur ausarbeitung vom montag (von wolti):

was bedeutet ncr(a,b) ?!!?

thx

[Schof]

ncr(a,b) ist glaub ich der Binomalkoeffizient (bei Woltis ausarbeitung ist nämlich ncr(a,b) = a!/(b!*(a-b)!) oder seh ich das falsch??

[the_unclean]

Hola, hätte eine frage zu Schofs beitrag:
Und zwar check i ned, wie du genau durch wegkürzen der Koeffizienten des Bruchs zu lim|((1/3-n)/(n+1))*x|=|x|
kommst
Ich hab die ganze zeit herumprobiert, aber bei mir bleibt [(1/3-n)!/(1/3-n-1)!]*x übrig
die Frage ist also wie du faktorielle weggebracht hast, und wieso bei dir im Nenner n+1 steht
danke vielmals!

[Unic0der]

309:

Könnte mir jemand nochmal erklären, wie das beispiel 309 gerechnet gehört. Ich hab jetzt hier im Forum schon dermaßen viele Möglichkeiten gesehen, dass ich gar nicht mehr weiß was richtig ist und ich gar nicht mehr durchblicke. Eine Schritteweise Anleitung wär nicht schlecht, dass ich nachvollziehen kann, wie ich das Ding nun rechnen muss...

ciao, OSX

[Schof]

Also hier die lange Version:
lim|(1/3!*x^(n+1)*(1/3-n)!*n!)/((n+1)!*(1/3-n-1)!*1/3*x^n) das krieg ich durch Auflösen des Doppelbruchs der Form |ak+1/ak| für ak siehe Angabe.
Weiter gehts:
lim|(x*(1/3-n)!*n!)/((n+1)!*(1/3-n-1)!)=lim|(x*n!*(1/3-n)!)/((n+1)!*(1/3-n-1)!)=
lim|(x*n!*(1/3-n)*(1/3-n-1)!)/((n+1)*n!*(1/3-n-1))=
lim|1/3-n/n+1|
Am besten du schreibst es dir schön mit Brüchen auf, dann sieht man, was man kürzen kann. Der Trick ist die Faktoriellen so lange anders anzuschreiben, bis man sie kürzen kann (z.B. (n+1)! = (n+1)*(n+1-1)!=n!*(n+1) usw.
Hoffe das hilft
ciao
Schof

[Tiniiiii]

lim|(x*n!*(1/3-n)*(1/3-n-1)!)/((n+1)*n!*(1/3-n-1))=
lim|1/3-n/n+1|

Was ist mit dem x passiert??? Kann man das einfach weglassen? Wegkürzen geht ja nicht - oder soll das irgendwas bedeuten? Ich checks nicht ganz ...

lg Martina

PS: Danke für die supertollen Erklärungen!!!

[Unic0der]

Ich versteh auch nicht was zwischen den folgenden zwei zeilen passiert;

lim|(x*n!*(1/3-n)*(1/3-n-1)!)/((n+1)*n!*(1/3-n-1))=
lim|1/3-n/n+1|


Ohne das hat dann wohl auch die sonst sehr gute Anleitung leider nix gebracht. Vielleicht könnte man das Ding noch vervollständigen? ;)

[Unic0der]

@schof

Zwei Fragen noch ...

1)Was passiert zwischen:

lim|((1/3-n)/(n+1))*x|=|x|

Woher weiß ich jetzt, dass das Ding für den angegebenen Bereich konvergiert? Wieso steht der betrag von x plötzlich allein da? Ich kann deinem ersten posting da leider nicht folgen ...

2) Wieso steht hier c-n-1 und nicht c-n+1?

lim|(1/3!*x^(n+1)*(1/3-n)!*n!)/((n+1)!*(1/3-n-1)!*1/3*x^n)

[Schof]

lim|(x*n!*(1/3-n)*(1/3-n-1)!)/((n+1)*n!*(1/3-n-1))=
lim|(1/3-n/n+1)*x| Sorry hab das x vergessen. Das x steht plötzlich alleine da, weil 1/3-n gegen -unendlich strebt, n+1 gegen + undendllich strebt, der ganze Term strebt gegen -1 weil n+1 schneller gegen +unendlich strebt als 1/3-n gegen -unendlich (lassts das zeichnen, ums zu sehen).

(1/3-n-1) steht deshalb, weil sich das ergibt aus dem ak+1, ak ist klar, ak + 1 ist im Zähler auch klar, aber im Nenner wäre das mit allen Klammerungen (n+1)!*(1/3-(n+1))! = (n+1)!*(1/3-n-1)
Hoffe das hilft
ciao Schof

[Unic0der]

Und die Erklärung würde glaubst du bei der Übung durchgehen?

Das x steht plötzlich alleine da, weil 1/3-n gegen -unendlich strebt, n+1 gegen + undendllich strebt, der ganze Term strebt gegen -1 weil n+1 schneller gegen +unendlich strebt als 1/3-n gegen -unendlich (lassts das zeichnen, ums zu sehen)

[Schof]

Das weiß ich natürlich nicht, aber ich denk mir ich hab das Bsp. nach bestem Wissen und Gewissen gemacht. Ich glaub, dass die Erklärung, dass der eine oder andere Term gegen 0 oder irgendwas strebt, wenn n gegen unendlich geht, müßte meiner Meinung nach reichen. Aber lassen wir uns überraschen ;)

[Unic0der]

Ich werd das dann halt kurzfristig entscheiden, ob ich das Ding angebe. Je nachdem wie viele andere Leute es auch nehmen.

Es lebe die Spekulation :lol: ;