Bsp. 308

[ibins]

Kann das sein, dass hier lim(...)=a0 rauskommt?

Partialsummenfolge ist <an>= a0 +(-1)^n*a_(n+1)

und lim a0 = a0
lim a_(n+1) = lim an =0

=> lim (...)= a0

kann mich furchtbar täuschen und würd mih furchtbar freun wenns stimmt... schaut aber fast zu einfach aus, oder?

[Arthur Dent]

Kann das sein, dass hier lim(...)=a0 rauskommt?


Am Anfang der Folge bleibt a0 stehen. Am Ende der Folge (-1)^n * a(n+1). Soweit alles klar.

lim a(n+1) = lim a(n) sollte eigenltich auch stimmen.

Scheinbar scheint es zu stimmen, aber wirklich bedenklich einfach. Aber vielleicht findet noch jemand den entscheidenden Fehler.

edit: Wo ich mir nicht ganz sicher bin (auch wenn es logisch klingt):
Wieso kann ich lim a(n+1) = lim a(n) setzen?

[Sensei]

Ergebnis passt glaub ich, eine Frage:

Schreib mal die Glieder auf, dann steht da:

(a1 + a0) - (a2 + a1) + ..................... + (-1)^n (an+1 + an)

und von diesem schönen Ausdruck fällt jetzt fast alles weg, es bleibt:

a0 + (-1)^n (an+1)

und hier meine Frage: warum ist jetzt das Ergebnis a0? Fällt der rest weg wegen lim(an) = 0 ?!? aber was sagt das über lim(a_n+1) aus? Bitte um "Kick in the right direction..."

[wolti]

und hier meine Frage: warum ist jetzt das Ergebnis a0? Fällt der rest weg wegen lim(an) = 0 ?!? aber was sagt das über lim(a_n+1) aus? Bitte um "Kick in the right direction..."


Naja, wenn du den lim a_{n+1} berechnest, läßt ja eigentlich nur ein folgenglied weg. Das ändert nichts an dem Grenzwert einer Folge. Kannst du dir leicht veranschaulichen, wenn dir z.B. eine Folge <an> = <1/n> anschaust. Hier hast als Grenzwert logischerweise 0. Schaut du jetzt die Folge <a_{n+1}> an = <1/(n+1)>, so hast als Grenzwert auch 0.

Siehe auch Baronbuch II, Seite 4

Grüße,
Wolti

[Sensei]

d.h. durch die Bedingung dass es eine monotone fallende Folge ist die gegen 0 geht, stimmt das ganze auch für a_n+1, oder? Na ja geht wahrscheinlich auch bei anderen Arten von Folgen. Danke jedenfalls für die Erklärung!

[ibins]

ein bissl unsicher bin ich mir schon, denn es sind Reihen und nicht Folgen und ich weiß nicht ob, und wenn ja, welche Auswirklungen das hat.... ???
Aber ich hoffe, das passt so.

[wolti]

ein bissl unsicher bin ich mir schon, denn es sind Reihen und nicht Folgen und ich weiß nicht ob, und wenn ja, welche Auswirklungen das hat.... ???
Aber ich hoffe, das passt so.


Natürlich darfst du das nicht direkt bei der Reihe verwenden. Das weglassen einiger Glieder bei einer Reihe ändert zwar nichts an ihrem Konvergenzverhalten, wohl aber an dem Wert. Wir haben hier aber die Partialsummenfolge betrachtet und dann ein a_{n+1} weggeschmiessen. -> Das funktioniert auf jedenfall.
Bei uns ist die Lösung auch so schnell gegangen.

[ibins]

so, und grad komm ich drauf, dass ich ja dann einfach den Grenzwert der Partialsummenfolge ausgerechnet hab. Und das gilt ganz automatisch auch für die Reihe? Ich habs zwar gemacht, weiß aber nicht, wie ich das begründen soll/kann. Auf die Schnelle hab ich im Buch nix gefunden. Ist das einfach so, dass wenn die Partialsummenfolge konvergiert, die ganze Reihe konvergiert?

[Unic0der]

Nur um richtig zu gehen dass ich das Bsp. auch richtig gerechnet habe:

Als erstes schreibe ich mir die Partialsummen auf:
(a1+a0)-(a2+a1)+(a3+a2)- ... + (-1)^n * (a(n+1)+a(n))

Nun sehe ich dass sich alles weggkürzt bis auf a0 und (-1)^n * (a(n+1)+a(n))

Ich habe nun also: sn = a(0) + (-1)^n * (a(n+1)+a(n))

Nun mache ich den Limes n gegen unendlich:

lim (n -> unendl.)[ a(0) + (-1)^n * (a(n+1)+a(n)) ]

- a(0) ist eine Konstante
- (-1)^n * a(n+1) geht gegen unendlich
- lim a(n) = 0 (das weiß ich aus der Angabe!)

d.h. übrig bleiben mir a(0) + 0

=> der limes von dem Ding ist a(0) (und dies ist dann auch das Ergebnis des Beispiels ;-) )

______
Alles richtig so?
Bitte um Korrektur, thx OSX

[lEn00x]

MacOS X, ich habe es genauso gelöst.

[Sensei]

hob i a so

cu

[hal]

Als erstes schreibe ich mir die Partialsummen auf:
(a1+a0)-(a2+a1)+(a3+a2)- ... + (-1)^n * (a(n+1)+a(n))

Nun sehe ich dass sich alles weggkürzt bis auf a0 und (-1)^n * (a(n+1)+a(n))

Das a(n) kürzt sich auch weg mit dem glied davor!

- (-1)^n * a(n+1) geht gegen unendlich

Nein, a(n+1) geht (ob a(n+1) oder a(n) is egal) gegen null lt. angabe, und der teil davor is {-1, +1}, d.h. konstant -> Nullfolge.

d.h. übrig bleiben mir a(0) + 0

Das ist dann wieder richtig :)

[Unic0der]

(ob a(n+1) oder a(n) is egal)

Dumme Frage (obwohl es ja angelich sowas nicht geben soll :lol: ):

Wieso ist das egal?

[hal]

(ob a(n+1) oder a(n) is egal)

Dumme Frage (obwohl es ja angelich sowas nicht geben soll :lol: ):

Wieso ist das egal?

Weil du damit nur einen einzigen Wert (den ersten nämlich) der Folge weglässt, und der hat auf den Grenzwert keinen Einfluss (es haben nur fast alle einen Einfluss).

[Ranma-kun]

Sagt mal, hat der Baron das überhaupt jemals in der Vorlesung erwähnt, daß Teilfolgen den gleichen Grenzwert haben wie die, von der sie abstammen? Ich kann mich garnicht erinnern! Hab's nur im Buch gefunden.

lg,
Ranma-kun