Bsp 290

[Arthur Dent]

Summe(n+2/6^n) für n >= 0

Dazu verwende ich das Quotientenkriterium im Limesformes, welches da lautet:

lim Betrag(a(k+1)/a(k)) <1 --> Reihe absolut konvergent

d.h in unserem Fall

lim Betrag(((k+3)/6^(k+1))/((k+2)/6^k)) =
// Doppelbruch auflösen
lim ((k+3)*6^k)/(6^(k+1)*(k+2)) =
// durch 6^k kürzen
lim (k+3)/(6k+12) =
// Bruch zerlegen
lim k/(6k+12) + lim 3/(6k+12) =
// 1. Bruch durch k dividieren
lim 1/(6+12/k) + lim 3/(6k+12) = 1/6
// 1. Grenzwert geht gegen 1/6, 2. gegen 0

da 1/6 < 1 --> Reihe konvergent

Bin für etwaige Korrekturen dankbar.

[hal]

habs genau so (welch ein wunder)

[ibins]

hab dazu gleich eine Frage: ich hab mir aufgeschrieben, dass der lim superior <1 sein muss. Wäre auch logisch. Nur woher sehe ich, dass das jetzt der lim sup ist? *nichtauskenn*

[hal]

wenn ein eindeutiger lim existiert, so ist er identisch mit dem lim sup und dem lim inf

[ibins]

aha, gut danke. Ich glaubs dir ;)

[biesi]

Summe(n+2/6^n) für n >= 0

Dazu verwende ich das Quotientenkriterium im Limesformes, welches da lautet:


Wäre da nicht das Wurzelkriterium viel einfacher, weil wir ja ein 6^n haben, wovon die n-te Wurzel gleich 6 ist?

[biesi]

ok. sieht irgendwie so aus als wäre das nicht wirklich einfacher... ich nehm doch lieber das quotienten-krit. :)

[Arthur Dent]

ok. sieht irgendwie so aus als wäre das nicht wirklich einfacher... ich nehm doch lieber das quotienten-krit. :)

Wie Baron auch in der Vorlesung gemeint hat: Einen Quotienten können wir leichter ausrechnen, als die k-te Wurzel. Also ist im Allgemeinen das Quotientenkriterium vorzuziehen, aber es funktioniert eben nicht bei allen Beispielen.

[Unic0der]

Habe noch leichte Verständnisprobleme bei Beispiel 290:

Ich komme da auf Limes von dem Ding ist 1/6. Ich hab bei meiner Version angenommen da es diesen Limes gibt ist das Ding konvergent. Punkt - aus!

Jetzt schau ich mir gerade die Ausarbeitung von hal an und sehe, dass er auch auf 1/6 kommt, nur mit dem Unterschied dass er noch irgendwas weiterrechnet, dessen Sinn und Zweck ich nicht wirklich verstehe.

Könntet ihr mir bitte erklären, was folgendes bedeutet, bzw. was genau da geschieht und wieso ich das machen muss?

(3+0) / (12+0) = 3/12 = 1/4
(3+n) / (12+6n) =< 1/4
12+4n =< 12+6n
4n =< 6n
4 <= 6 / Was soll das denn bitte ??? Wozu wird das berechnet?

Quotientenkriterium: q= 1/4
=> Reihe konvergiert

Bitte um rasche Hilfe,
MacOS X

[hal]

siehe hier (http://hades.gothic.at/iforum/showpost.php?postid=49722&postcount=5)

[Unic0der]

siehe hier (http://hades.gothic.at/iforum/showpost.php?postid=49722&postcount=5)

aha, danke!

Selbiges gilt dann wahrscheinlich auch für Beispiel 309 ?! ...

[hal]

Selbiges gilt dann wahrscheinlich auch für Beispiel 309 ?! ...

hm... mitterweile bin ich zu der einsicht gekommen, dass man mathematische berechnungen genauso wie source code kommentieren sollte... keine ahnung mehr was ich da am samstag gerechnet hab... is nur angeblich viel zu kompliziert

[Unic0der]

Ich rechne das Ding mit der limesform des Quotientenkriterium durch, bekomme wie ihr als Limes 1/6.

Nun kann ich schreiben 1/6 < 1 -> Quotientenkriterium ist erfüllt, Reihe ist absolut konvergent;

Muss ich sonst eh nichts mehr machen, oder?
__________________
Alles richtig so?
Bitte um evtl um Korrektur oder Ergänzung, thx OSX

[hal]

Ich rechne das Ding mit der limesform des Quotientenkriterium durch, bekomme wie ihr als Limes 1/6.

Nun kann ich schreiben 1/6 < 1 -> Quotientenkriterium ist erfüllt, Reihe ist absolut konvergent;

Es gibt Werte die größer als 1/6 sind (zB bei n=1).

[Unic0der]

Es gibt Werte die größer als 1/6 sind (zB bei n=1).

Mag schon sein, aber als limes krieg ich 1/6 raus, und im Endeffekt hab ich dann ja 1/6 < 1 dortstehen.

Und da das ja stimmt ist das Quotientenkriterium erfüllt.
Und wenn das Quotientenkriterium erfüllt ist ist das Ding absolut konvergent.

Ich verstah also nicht ganz wo da der fehler liegt ...

[biesi]

>Es gibt Werte die größer als 1/6 sind (zB bei n=1).

ja, aber man muss ja nur den limsup bestimmen

[Ranma-kun]

Sagt mal, wäre es nicht einfacher, einfach bei

lim ((k+3)/(6k+12))

durch k zu dividieren?
Dann käme

lim ((1+3/k)/(6+12/k))

heraus, und man hätte sofort den Limes, da

3/k und 12/k gegen 0 gehen, oder?

lg,
Ranma-kun

[BUBU]

push!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[Flusspferd]

hi

ich glaube nicht dass man hier unbedingt die Limes Form des Quotientekriteriums braucht.

Einfacher gehts mit mit dem Quotientenkriterium :

Betrag von an+1 / an <= q <1 für fast alle n e N

das heist nichts anders als : das Folgenglied an (der zugrundeliegenden Folge der Reihe) ist größer als das nachfolgende Glied an+1. Sonnst wäre an+1 / an nicht kleiner als 1.

So, was pasiert wenn man immer kleiner werdende Zahlen aufsummiert ?

Zur Überlegung folgendes Beispiel :

0,3 + 0,03 + 0,003+ 0,0003 ....=0,3333............

Man erhält also einen Grenzwert der Reihe.

Nun zum eigentliche Beispiel :

Wenn ich in (Betrag von an+1 / an <= q <1) einsetze und das Ganze dann ausrechne ( Dopelbruch auflösen, usw) komme ich auf :

n+3 / 6n +12 < 1

hier ist ersiechtlich das der Nenner immer größer als der Zähler ist, d.h. das Ergebniss ist ( sogar für alle n e N) kleiner als 1. Die Reihe ist also absolut konvergent.

Bitte prüft das mal, vielleicht irre ich mich ja

[Poppe]

tja ausgerechnet hab ichs auch so und dann noch (wie oben) den limes bestimmt. sollte also reichen. frage is nur ob man das wie du so einfach sagen kann.

wahrscheinlich würds auch reichen wenn ich beweise:

n+3 < 6n + 12...mittels koeffizienten vergleich
n < 6n und 3 < 12...stimmt also.