Beispiel 321

[gerhard]

Hallo!

Sagt mir bitte was ihr von meiner Lösung hält.

Wir wissen aus der VO das jede f(Z) als Summe(Ck*(Z-Z0)^k) darstellbar ist.
Wobei Ck = f(k)(Z0)/k!. f(k) soll die k-te Ableitung von f sein.

Wenn wir nun f(Z) = e^Z nehmen und Z0 = 0, dann ist f(k)(Z) = e^Zo = 1.

Daraus folgt nun das (1) e^Z = Summe((Z^k)/(k!))

Wenn wir nun die Angabe hernehmen:

Summe(a^n/n!)*Summe(b^n/n!) = Summe((a+b)^n/n!)

Wegen (1) ist das oben das gleiche wie:

e^a*e^b = e^(a+b)

und diese Gleichung gilt.

[wolti]

Hallo,

Habs gerade gelesen dein Post. Klingt nach einer guten und sehr einfachen Idee. Ich habe den Idiotenweg genommen und bin auch draufgekommen das es passt.



= summe a^n/n! * summe b^n/n!
= (1 + a + a^2/2! + a^3/3! + ... + a^n/n!) * (1 + b + b^2/2! + b^3/3! + ... + b^n/n!)

Ich schreibe das ganze jetzt etwas anders hin.

sn = 1
+ a + b
+ a^2/2! + a*b + b^2/2!
+ a^3/3! + a^2*b/(2!*1!) + a*b^2/(1!*2!) + b^3/3!
+ a^4/4! + a^3*b/(3!*1!) + a^2*b^2/(2!*2!) + a*b^3/(1!*3!) + b^4/4!

Wir sehen ein bildungsgesetz für die unten koeffizienten. Ich bezeichne die Zeilen mit i
und die Spalten mit j. Dann giltet für die koeffizienten der a,b

koeff(a,b) = 1/((i-j)!*j!)

Jetzt schreibe ich die zweite summe (a+b)^n/n!

sn = 1
+ a + n
+ a^2/2! + 2*a*b/2! + b^2/2!
+ a^3/3! + 2*a^2*b/3! + 2*a*b^2/3!
+ a^4/4! + 4*a^3*b/4! + 6*a^2*b^2/4! + 4*a*b^3/4! + b^4/4!

Wir wissen bei den binomischen Formeln bekomme ich wenn ich z.B (a+b)^4 ausrechne den
koeffizienten des ersten Termes mit den binominalkoeffizieten (4, 1), allgemein wenn wir es
wieder mit i und j bezeichen (i, j).

mit (i,j) = i!/(i-j)!*j!

koeff(a,b) = (i, j)/i! = 1/((i-j)!*j!)

Die Produkte a*b bilden sich gleich und die Koeffizienten sind auch gleich. Daher identisch.

[wolti]

Hallo,

Habs mir jetzt noch einmal durchgefacht und es macht für mich schon sinn,


Wir wissen aus der VO das jede f(Z) als Summe(Ck*(Z-Z0)^k) darstellbar ist.
Wobei Ck = f(k)(Z0)/k!. f(k) soll die k-te Ableitung von f sein.

Wenn wir nun f(Z) = e^Z nehmen und Z0 = 0, dann ist f(k)(Z) = e^Zo = 1.


Hmm. Du hast also die Summe {a^n/n!} geschrieben als ck*(a - 0)^n. Denn hast du geraten (Oder wie bist du auf die Exponentialfunktion gekommen ?), dass wir als Grenzfunktion e^a erhalten.
Das stimmt nämlich, den zerlegen wir die ganzen Teil wieder mit.

ck = df(k)|x0 / k! * (x-x0)^k so erhalten wir wieder das andere Ergebniss.

Wir wissen also, dass das erste e^a ist, das zweite e^b und das dritte e^(a+b), was auch wieder darauf rückgeführt werden kann.

Aber das was mich am meisten interessiert, wie bist du draufgekommen, dass das ganze als Grenzfunktion e^x hat ?

[gerhard]

Hallo!

Der Baron hat am Dienstag ganz am Schluß was aufgeschrieben und gesagt, dass das was mit der Übung zu tun hat. Und zwar war das der Term:

f(Z) = Summe((Z^k)/(k!))

Damit man zu diesem Term kommt muß jede Ableitung zur Funktion ident sein, denn sonst wär ja die
k-te Ableitung in der Formel enthalten und die einzige die das erfüllt ist die e^x Funktion und sonst
keine. Weiters muß Z0 = 0 und damit ist e^0 = 1.

[wolti]

(Z) = Summe((Z^k)/(k!))

Damit man zu diesem Term kommt muß jede Ableitung zur Funktion ident sein, denn sonst wär ja die
k-te Ableitung in der Formel enthalten und die einzige die das erfüllt ist die e^x Funktion und sonst keine.


Naja, ist zwar keine sehr wissenschaftliche Argumentation, aber doch akzeptabel. Ansonsten siehst man es ja auch über die Taylorentwicklung der Exponentialfunktion an der Stelle x0 = 0. Da kommt dann genau unsere Reihe raus <-> Was logischerweise auch so sein muss. Aber im normalfall ist halt dieser Weg nicht so einfach, wenn du nicht direkt die Funktion sehen kannst.

[wolti]

wir wissen jetzt, die argumentation über e^irgendwas ist leider nicht möglich.. <-> sie ist zwar richtig, zählt aber nichts als beweiss.
man sollte die summe zerlegen (also so anschreiben und nach der regel von cauchy für produkte von reihen zerlegen und dann sehen, dass sich hinten eine reihe über (a+b)^n/n! ergibt). meine ursprüngliche argumentation würde vielleicht gelten, ist aber länger und bei weitem nicht so gut wie die die unser matheprof gebracht hat.

Grüße,
Wolti

[wolti]

Hallo,

Hier die korrekte Lösung für jene wo dieses Beispiel noch machen müssen (oder so ein ähnliches). Ich habe es jetzt gerade gerechnet.



summe(a^n/n!,n,0,unendl) * summe(b^n/n!,0,unendl)

Nach dem Buch S37:
summe(ak,k,0,unendlich) * summe(bk,k,0,unendlich) =
summe( summe(a_{l} * b_{k-l},l,0,k), k, 0, unendlich)

Wir haben nun also wenn wir das für unserem Term anwenden folgende
Ausdruck. Ich schreibe jetzt S_{0,k}(a_l) für Summe von a_l von 0 bis k.

S_{k=00,unendlich} ( S_{l=0,k} (a^l/l! * b^(k-l)/(k-l)!) )

Ich schreibe jetzt den inneren Teil der Summe nocheinmal schön an:

a^l b^(k-l)
---- * -----------
l! (k-l)!

Wir wissen, dass ncr(a,b) = a!/((a-b)!*b!)

Ich multipliziere oben und unten mit k!

1 k! a^l * b^(k-l)
-- * ---------- * --------------
k! (k-l)!*l! 1

1/k! ziehe ich jetzt mal aus der inneren Summe raus (Dürfen wir ja,
ist konstant)

nun habe: ncr(k,l) * a^l * b^(k-l)

Behauptung.

S_{l=0,k) ncr(k,l) * a^l * b^(k-l) = (a+b)^k

Bsp:
S_{l=0,1) = ncr(1,0)*a^0*b^1 + ncr(1,1)*a^1*b^0 = a + b = (a + b)^1 (OKAY)
Bsp:
S_{l=0,2) = ncr(2,0)*a^0*b^2 + ncr(2,1)*a^1*b^1 + ncr(2,2)*a^2*b^0 = a^2 + 2*a*b + b^2 (OKAY)

Ich habe nun also als fertiges Ergebniss und damit als Beweiss:

S_{k=0, unendlich}(1/k! * (a+b)^k)


So ein doofes Beispiel habe ich selten gesehen, wer sieht schon, dass das wirklich die binomischen Formeln hier sind :-(

Grüße Wolti