wolti
19-03-2003, 18:14
Hallo,
Folgende Idee zu diesem Beispiel. Hier nochmal die Angabe:
Es sei lim an = a. Man bestimme den Grenzwert der Reihe summe{ (an+1 - an), n } für n >= 0.
Zuerst einmal ein paar Sachen was ich für die weitere Berechnung verwendet haben. Wichtig ist für die Bestimmung des Grenzwertes einmal, welche ich später mache.
lim a_{n} = lim a_{n+1} - Ist ansich klar, denn wir lassen ja dadurch eigentlich nur ein paar Reihenglieder weg. Ändert nichts am Konvergenzverhalten. Man darf dies allerdings nicht direkt in der Summe machen, da es zwar nichts am Konvergenzverhalten ändert, wohl aber dem Wert.
Ich bilde zuerst einmal die Partialsumme:
sn = a1 - a0
+a2 - a1
+a3 - a2
+a4 - a3
.
.
+a_k
+a_{k+1} - a_k
Man sieht hier sofort, dass gewisse folgenglieder sofort wegfallen und wir erhalten als Ergebniss für die Partialsumme sn
sn = -a0 + a_{k+1}
Nun berechnen wir den Grenzwert der Summe sn:
lim (-a0 + a_{k+1} ) = lim -a0 + lim a_{k+1} = -a0 + lim_a{k+1}
Hier giltet die oben dargestellt Regel und wir erhalten:
sn = -a0 + a (mit lim_an = a)
Mein Problem damit ist nun: Man kann es nicht vollständig ausrechnen. Ich kann auch gleich noch ein Beispiel anführen, dass das auch stimmt was ich da so gerechnet habe.
Sei:
ak = 2*k/(1+k)
lim ak = 2
Wir erhalten tatsächlich wenn wir das ausrechnen das passende Ergebniss.
In diesem Fall war a0 = 0, also a.
Jetzt modifziere ich die Folge etwas, und zwar so, dass der Startwert
nicht mehr 0 ist, aber der Grenzwert bei 2 bleibt.
ak = (1 + 2*k)/(1+k)
<-- Skript für Test 1 -->
function retval = ak (k)
retval = 2*k/(1+k);
endfunction
summe=0;
for k=0:1000
summe=summe+ak(k+1)-ak(k);
end
summe
summe = 1.9980
<-- Skript für Test 2 --->
function retval = ak (k)
retval = (1 + 2*k)/(1+k);
endfunction
summe = 0.99900
Man sieht, dass hier also tatsächlich -a0 + lim a_{n+1} rauskommt.
Folgende Idee zu diesem Beispiel. Hier nochmal die Angabe:
Es sei lim an = a. Man bestimme den Grenzwert der Reihe summe{ (an+1 - an), n } für n >= 0.
Zuerst einmal ein paar Sachen was ich für die weitere Berechnung verwendet haben. Wichtig ist für die Bestimmung des Grenzwertes einmal, welche ich später mache.
lim a_{n} = lim a_{n+1} - Ist ansich klar, denn wir lassen ja dadurch eigentlich nur ein paar Reihenglieder weg. Ändert nichts am Konvergenzverhalten. Man darf dies allerdings nicht direkt in der Summe machen, da es zwar nichts am Konvergenzverhalten ändert, wohl aber dem Wert.
Ich bilde zuerst einmal die Partialsumme:
sn = a1 - a0
+a2 - a1
+a3 - a2
+a4 - a3
.
.
+a_k
+a_{k+1} - a_k
Man sieht hier sofort, dass gewisse folgenglieder sofort wegfallen und wir erhalten als Ergebniss für die Partialsumme sn
sn = -a0 + a_{k+1}
Nun berechnen wir den Grenzwert der Summe sn:
lim (-a0 + a_{k+1} ) = lim -a0 + lim a_{k+1} = -a0 + lim_a{k+1}
Hier giltet die oben dargestellt Regel und wir erhalten:
sn = -a0 + a (mit lim_an = a)
Mein Problem damit ist nun: Man kann es nicht vollständig ausrechnen. Ich kann auch gleich noch ein Beispiel anführen, dass das auch stimmt was ich da so gerechnet habe.
Sei:
ak = 2*k/(1+k)
lim ak = 2
Wir erhalten tatsächlich wenn wir das ausrechnen das passende Ergebniss.
In diesem Fall war a0 = 0, also a.
Jetzt modifziere ich die Folge etwas, und zwar so, dass der Startwert
nicht mehr 0 ist, aber der Grenzwert bei 2 bleibt.
ak = (1 + 2*k)/(1+k)
<-- Skript für Test 1 -->
function retval = ak (k)
retval = 2*k/(1+k);
endfunction
summe=0;
for k=0:1000
summe=summe+ak(k+1)-ak(k);
end
summe
summe = 1.9980
<-- Skript für Test 2 --->
function retval = ak (k)
retval = (1 + 2*k)/(1+k);
endfunction
summe = 0.99900
Man sieht, dass hier also tatsächlich -a0 + lim a_{n+1} rauskommt.