Meine Lösung Bsp. 6

[ibins]

Hi Leute

mit Hilfe der Montag'ler versuch ich dieses Beispiel zu lösen. Die habens ja (fast) gleich, wobei ich der Meinung bin, dass sie sich bis jezt geirrt haben und eigentlich unser Bsp rechnen... ;) *hoff*

Mein Ergebnis ist momentan
R^2= 3h^2 und h^2^=1/2 r^2

(R... Raidus der HK, r...Radius des Zylinders, h...Höhe des Zykinders)

hat schon wer was? Am besten das Gleiche ;)

[biesi]

hm, ich hab was anderes :)
Mit deiner Notation:
r^2=8*h^2
h=R/3
r=sqr(8)*R/3

[hal]

Mir kommt

h = r = R/sqrt(2)

raus (r = Radius des Drehzylinders, R = Radius der Halbkugel). Ich habs schon mit 2 versch. Methoden gerechnet, und ich komm immer aufs gleiche...
Im Endeffekt steht dort r/h=h/r, was ich dann in die Kugelgleichung x^2+y^2+z^2=r^2 einsetze und zum obigen Ergebnis führt.

Im Übrigen denk ich nicht dass es einen Unterschied macht, ob das jetzt eine Kugel oder eine Halbkugel ist.

[biesi]

grrr ich bin auf einen fehler draufgekommen...
Meine aktuelle Lösung ist:
r^2=R^2*2/3
h^2=R^2/3
h^2=r^2/2

und damit sieht's so aus, als hätte ich die gleiche Lösung wie ibins.

[hal]

ok, differenzieren sollte man können. ich krieg jetzt auch eure lösung raus.

[ibins]

alle gleich :bounce: - damit haben wir wohl mehrheitlich beschlossen, dass es stimmt, oder ;)?

[Schof]

Ich komm da auf keinen grünen Zweig könnte mir jemand das Larange-Zeug mit Bezuf auf das Beispiel erklären. Ich kapiers trotz Buch noch immer nicht ganz, was da zu machen ist.
danke schof

[lEn00x]

laut Angabe soll man ja den größten Drehzylinder in eine Halbkugel einschreiben.
Ihr habt ihn jedoch in eine Kugel eingeschrieben. Theoretisch sollte da ein anderes Ergebnis rauskommen, oder?

[biesi]

@IEnOOx: Wieso meinst du wir hätten ihn in eine Kugel eingeschrieben? außerdem ist das Ergebnis nur anders, wenn man die Gleichungen statt mit R mit V (der Kugel/Halbkugel) angibt.

@Schoof: Also, folgendes: Das Volumen eines Drehzylinders ist V=r^2*pi*h
Weil das ganze aber in eine Halbkugel (Kugel ist das gleiche) eingeschrieben werden soll, gibt es eine Nebenbedingung: r^2+h^2=R^2 (Wird aus einer Skizze eines Schnittes durch die Kugel und den Zylinder und mit Zuhilfename des Satzes von Pythagoras ersichtlich)

Die Nebenbedingung ist also: r^2 + h^2 - R^2 = 0

Um dann das maximale Volumen auszurechenen haben wir:
V(r,h,lambda)=r^2*pi*h + lambda*(r^2 + h^2 - R^2)

Diese Funktion leitet man dann nach r, h und lambda ab, setzt alle drei entstehenden Gleichungen Null, und rechnet sich damit h und r aus (wobei R=konstant) (man könnte auch lambda ausrechnen, ist aber uninteressant).

[Unic0der]

Hi!

Ich hab bei dem Beispiel folgendes Problem:

Ich komme einfach nicht drauf, wie man auf die Nebenbedingung g[r,h] kommt.

Bitte um eine kurze Erklärung was zu tun ist.

thx, OSX
;)

[icebeer]

hoffe es hilft

[buechsengustel]

also wir haben das bsp hier mit methoden aus dem gym gelöst :) also mit hauptbedingung (volumen des zylinders) und nebenbedinung (radius der halbkugel = R mit pythagoras ausgedrückt).
da kriegen wir dann auch für h = R/sqrt(3), r² = (2R²)/3
Vmax ist damit = (2R³pi)/3*squrt(3)

ist das nicht eh auch mit lagrange'schen multiplikatoren? nur haben wirs in der schule halt nicht so bezeichnet...
immerhin haben wir ja da auch was eingesetzt und dann differenziert.
lg,

[the_unclean]

aber wo wird begrenzt ob wir uns in einer halbkugel befinden?:confused:

[ibins]

das ist schon in die Nebenbedingung eingeflossen. Du verwendest den Pythagoräischen Lehrsatz und erhälst R= sqrt(r^2+h^2). Wenn du dir die Skizze dazu ansiehst, wirst du sehen, dass das erst die eine Hälfte der Kugel ist. Würdest du die ganze Kugel betrachten, dann müsstest du hier h/2 verwenden.

hth

[ibins]

so aber jetzt hab ich eine Frage und hoffe, es kann sie mir wer beantworten:
Als notwendige Bedingung für ein Extremum sind ja die partiellen Ableitungen der Hauptbedingung =0 zu setzen. Da kommt aber dann nur r=0 oder h=0 in Frage, dass sich das ausgeht. Doch das ist das Minimum und wir suchen das Maximum. Wie kann ich begründen, was beim Maximum mit diesen partiellen Ableitungen passiert??? Das überzucker ich nicht ganz...
bitte Hilfe

[biesi]

>Als notwendige Bedingung für ein Extremum sind ja die partiellen Ableitungen der Hauptbedingung =0 zu setzen.
>Da kommt aber dann nur r=0 oder h=0 in Frage, dass sich das ausgeht

hm?
du musst ja diese Funktion ableiten:
V=r^2*pi*h + lambda*(r^2+h^2-R^2)

Die Ableitungen sind dann:
dV/dr = 2*r*pi*h + lambda*2*r
dV/dh = r^2*pi + lambda * 2h
dV/dlambda = r^2+h^2-R^2
(hoffe das stimmt, hab's nicht nachgerechnet)

Wieso soll dann r=0/h=0 die einzige lösung sein?

[ibins]

gut. um mir meine Frage selbst zu beantworten (falls ich jemanden verwirrt habe bzw. dass mir jemand widersprechen kann, falls ich mich jetzt doch irre...):
Ich glaube, dass man mir dem =0 Setzen der Hauptbedingung nur das Minimum finden kann, und man für das Maximum ja die Nebenbedingung braucht (dafür ist sie also da...), verschiebt sich das =0 Setzen auf die partiellen Ableitungen von F(r, h, l), die dann die HB und die NB in sich vereinigen.
oder hat wer andere Erkenntnisse?