View Full Version : [Frage] Bsp 296
Hallo,
Hehe -- Habe nach langem Kampf jetzt mal wenigstens Beispiel 296 gelöst und will mal erfahren was ihr zu diesem Ansatz meints.
Ausgehend von der Angabe und der Moivreschen Formel:
summe sin(n*pi/3)/(2^n) für n > 0
( cos(x) + i*sin(x) )^n = cos(n*x) + i*sin(n*x)
Schritt 1:
Mit:
sin(n*pi/3) = imag { cos(n*pi/3) + i*sin(n*pi/3) }
Wir folgern nun anhand der tollen Formel:
sin(n*pi/3) = imag { (cos(pi/3) + i*sin(pi/3))^n } = imag { (1/2 + i*sqrt(3)/2)^n }
Wir erhalten nun für die Summe:
summe ( imag { (1/2 + i*sqrt(3)/2)^n } / 2^n ) = summe ( imag { ( 1+ i*sqrt(3) ) / 4 )^n }
Mit der Formel:
summe(q^k, k=0, unendlich) = 1/(1-q) falls |q| < 1.
1/(1 - (1+i*sqrt(3))/4) = 4 / ( 4 - 1 + i*sqrt(3) )
konjungiert komplex erweitern.
= 1 + i*sqrt(3)/3
imag davon ist sqrt(3)/3 und dieses ergebniss könnte stimmen. Zumindest wenn ich mal mit dem Taschenrechner für ein großes k der Partialsummenfolge ausrechne.
Grüße,
Wolti
hmm... also ich würd gern ein paar sachen wissen:
1) wie kommt ma von
imag { (cos(pi/3) + i*sin(pi/3))^n } = imag { (1/2 + i*sqrt(3)/2)^n }
(und das ohne Taschenrechner - mit Taschenrechner gehts... aba gehts auch ohne??)
2) ich glaub da is ein vorzeichenfehler
1/(1 - (1+i*sqrt(3))/4) = 4 / ( 4 - 1 + i*sqrt(3) )
und zwar beim letzten imaginären Ausdruck ghört ein minus einer meinung nach wemma die klammer weglässt!
Das Endergebnis stimmt dann aber wieder, also dürfts nur ein schreibfehler sein!
hmm... also ich würd gern ein paar sachen wissen:
1) wie kommt ma von
imag { (cos(pi/3) + i*sin(pi/3))^n } = imag { (1/2 + i*sqrt(3)/2)^n }
Man weiss, dass der cos(pi/3) = cos(60°) = 1/2 ist. Mit der Beziehung, dass cox(x)^2 + sin(x)^2 = 1 ist, kommst auch auf den sinuswert. Musst dir halt noch das VZ überlegen, ist aber nicht wirklich schwer.
(und das ohne Taschenrechner - mit Taschenrechner gehts... aba gehts auch ohne??)
2) ich glaub da is ein vorzeichenfehler
1/(1 - (1+i*sqrt(3))/4) = 4 / ( 4 - 1 + i*sqrt(3) )
und zwar beim letzten imaginären Ausdruck ghört ein minus einer meinung nach wemma die klammer weglässt!
Das Endergebnis stimmt dann aber wieder, also dürfts nur ein schreibfehler sein!
Stimmt. Schreibfehler, habe nicht besonders aufgepasst beim tippen. sorry.
semicolon
16-03-2003, 21:01
hi wolti,
also mir ist deine erste folgerung überhaupt nicht klar:
sin(n*pi/3) = imag { cos(n*pi/3) + i*sin(n*pi/3) }
ich bin das beispiel anders angegangen -- bei mir gibt's zwar keinen grenzwert was mich etwas beunruhigt, aber irgendwie macht es finde ich sinn:
sigma (sin(n*pi/3)/2^n)
betrachte im folgenden an das n-te glied der reihe:
an = (sin(n*pi/3)/2^n) = 1/2^n * sin(n*pi/3) = (1/2)^n * sin(n*pi/3)
jetzt stellen wir 1/2 als komplexe zahl da, realteil 1/2 imaginaerteil 0,
1/2 ist ausserdem cos(pi/3):
(cos(pi/3) + i*sin(0))^n * sin(n*pi/3) -->
sn = sigma (cos(n*pi/3) * sin(n*pi/3))
die entwicklung sieht so aus:
0 + 1/4*sqrt(3) - 1/4*sqrt(3) + 0 + 1/4*sqrt(3) - 1/4*sqrt(3) + ...
wiederholt sich immer weiter. fuer n mod 3 = 0 geht die reihe also gegen 0,
aber fuer unendliche n hat man wenn man die partialsummenfolge betrachtet
eben immer genau 2 HP --> divergent.
was meint ihr dazu?
bye...
1/(1 - (1+i*sqrt(3))/4) = 4 / ( 4 - 1 + i*sqrt(3) )
konjungiert komplex erweitern.
= 1 + i*sqrt(3)/3
Hi - hab mittlerweile das ganze Beispiel verstanden - bis auf diese konjugiert-komplexe Erweiterung - was passiert da genau?
- danke - stefan
konjungiert komplex erweitern du ich darum, damit ich den nenner als einen relle zahl bekomme.
nehmen wir an, du hast einen ausdruck.
(a + ib)/(c + id)
wir multiplizieren oben und unten mit den konjungiert komplexen zahl des nenner (c - id).
(a + ib)(c - id) / ( (c + id)*(c - id)
schauen wir uns nur den nenner an:
ausmultipliziert haben wir:
c^2 + c*i*d - c*i*d - i^2*d^2 = c^2 + d^2 mit (i^2 = -1, -*- = +)
grüße,
wolti
hi wolti,
sigma (sin(n*pi/3)/2^n)
betrachte im folgenden an das n-te glied der reihe:
an = (sin(n*pi/3)/2^n) = 1/2^n * sin(n*pi/3) = (1/2)^n * sin(n*pi/3)
jetzt stellen wir 1/2 als komplexe zahl da, realteil 1/2 imaginaerteil 0,
1/2 ist ausserdem cos(pi/3):
(cos(pi/3) + i*sin(0))^n * sin(n*pi/3) -->
sn = sigma (cos(n*pi/3) * sin(n*pi/3))
Achtung !! Das hier ist falsch.
Es gilt diese Beziehung natürlich nur für x ! bei den moivreschen Formeln.
( cos(x) + i*sin(x) )^n = cos(n*x) + i*sin(n*x)
Sonst macht ich nämlich folgendes. Gleicher Schritt wie du:
(1/2)^n -> 1/2 = cos(pi/3), ist okay
(cos(pi/3) + i*sin(0)) <-- wo siehst du hier in dieser Klammer bei beiden den gleichen Wert ?
semicolon
16-03-2003, 23:31
alles klar, das habe ich übersehen. danke!
na gut, ich verstehe trotzdem deinen ersten schritt noch nicht:
sin(n*pi/3) = imag { cos(n*pi/3) + i*sin(n*pi/3) }
ich verstehe nicht wie die linke und die rechte seite gleich sein können. kannst du mir da auch noch weiter helfen?
TIA
alles klar, das habe ich übersehen. danke!
na gut, ich verstehe trotzdem deinen ersten schritt noch nicht:
sin(n*pi/3) = imag { cos(n*pi/3) + i*sin(n*pi/3) }
ich verstehe nicht wie die linke und die rechte seite gleich sein können. kannst du mir da auch noch weiter helfen?
TIA
Beispiel:
Sei z eine komplexe zahl mit z = a + ib = z = Real(z) + i * Imag(z).
Imag(z) ist also der Imaginärteil von z, Real(z) der Realteil von z.
Also Imag(z) = b, Real(z) = a
imag { cos(n*pi/3) + i*sin(n*pi/3) } = sin(n*pi/3)
real { cos(n*pi/3) + i*sin(n*pi/3) } = cos(n*pi/3)
z = Real(z) + i*Imag(z) = cos(n*pi/3) + i*sin(n*pi/3) = wieder das gleiche wie oben.
semicolon
17-03-2003, 00:28
danke!
ich verstehe noch nicht ganz *warum* es tatsächlich funktioniert aber jetzt ist mir zumindest klar wie deine lösung funktioniert. sehr genial, hut ab!
bye...
danke!
ich verstehe noch nicht ganz *warum* es tatsächlich funktioniert aber jetzt ist mir zumindest klar wie deine lösung funktioniert. sehr genial, hut ab!
bye...
naja, ich nehme ja am schluss den Imaginärteil.. warum es wirklich mit dem grenzwert funktioniert weiss ich leider auch nicht - aber das binde ich dem prof sicher nicht unter die nase. denn dass gilt.
Imag{lim sn}, wobei sn eine komplexe zahlenfolge ist das gleiche ist wie.
lim imag{sn} für die gleiche Folge ist glaube ich nicht so einfach.. Man könnte es jetzt probieren, aber irgendwie habe ich keine Lust mehr.
Grüße,
Wolti
Korrekturen (Vielen Dank an Hal)
> Wir erhalten nun für die Summe:
>
> summe ( imag { (1/2 + i*sqrt(3)/2)^n } / 2^n ) = summe ( imag { ( 1+ i*sqrt(3) ) / 4 )^n }
Hier hat sich ein Fehler in der Klammerung eingeschlichen. Der zweite Teil sollte heissen:
summe ( imag { ( (1 + i*sqrt(3)) / 4 )^n } )
Des weiteren sollte man auch noch, wenn man das innere als q deutet, sprich die Regeln für den Grenzwert bei geometrischen Reihen anwendet wirklich überprüfen ob |q| < 1 ist, was ja eine Voraussetzung dafür ist, dass überhaupt eine konvergenz möglich ist. -> Siehe Mathematik Vorlesung heute: <ak> -> 0 ist eine notwendige Bedinung für Konvergenz.
q = ( 1 + i*sqrt(3) )/4
|q| = sqrt( (1/4)^2 + (sqrt(3)/4)^2 ) = sqrt( 1/16 + 3/16 ) = sqrt ( 4/16 ) = 2/4 = 1/2 (Okay)
Unic0der
19-03-2003, 18:08
Mir ist noch folgendes unklar:
imag { cos(n*pi/3) + i*sin(n*pi/3) } = sin(n*pi/3)
real { cos(n*pi/3) + i*sin(n*pi/3) } = cos(n*pi/3)
Wie kommst du auf den Imaginär bzw. Realteil?
somecallmeboris
27-04-2005, 22:17
um den thread einmal in die gegenwart zu holen...
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