Lösung Bsp. 7

[lEn00x]

So, jetzt habe ich einmal die leichten Bsp. gelöst.

Hiereinmal die Lösung zu Bsp. 7:

lim(x->0)sin(x^2)/(xtanx)

2 Mal Zähler+Nenner Differenzieren (Hospital).

Ergebnis: 1

[ibins]

Hab ich auch so :bounce:

[Schof]

Hallo, krieg auch 1 als Ergebnis.
Da wir armen Donnerstagler aber mit dem Baron beglückt werden, würde mich interessieren ob auch alles stimmt. Also hier meine Schritte:

lim(x->0) sinx²/xtanx = 0/0 weil sinx² gegen 0 geht und x*tanx auch.
d.h. das dass ein unbestimmer Ausdruck ist und wir die Regel von de l'Hospital anwenden können. Also lim(x->0)f'(x)/g'(x)=A dann lim(x->0)f(x)/g(x)=A

Ich teile Zähler und Nenner auf und differenziere:

Zähler:
f(x): lim(x->0) sinx² = 0
f'(x): lim(x->0) 2xcosx² = 0
(innere * äußere Ableitung, nützt noch nix, weil 2*0*cos(irgendwas) noch immer 0 als limes hat)
f''(x): lim(x->0) 2x*2x*(-sinx²)+2*cosx² = 1
(Juhu ein Grenzwert von 1 für den Zähler, weil 2x*2x... gegen 0 geht, aber 2*cosx² gegen 1)

Nenner:
f(x): lim(x->0) xtanx = 0
f'(x): lim(x->0) tanx + x/cos²x = 0 weil tanx gegen 0 und x gegen 0, obwohl cos²x gegen 1 geht.
(Produktregel und tanx' ist 1/cos²x wegen Quotientenregel und trigonometrischen Pythagoras.
f''(x) lim(x->0) 1/cos²x + (cos²x - 2x*cosx*(-1)*sin²x)/cos²x
(bei diesem Monsterausdruck am Schluss bin ich mir nicht sicher, aber egal; cos²x geht gegen 1, 2x....geht gegen 0 d.h. 1/1+(1-0)/1 = 1
=>
lim(x->0) f(x)/g(x) = 0
lim(x->0) f'(x)/g'(x) = 0/0 => wieder Spitalsregel
lim(x->0) f''(x)/g''(x) = 1/1 = 1

Stimmt das so, oder hab ich irgendwo einen Murks reingebaut
ciao
Schof

[Sensei]

frage zu deiner zähler-berechnung: du bekommst als grenzwert 1 für 2*cos(x^2) ... is nicht der cos(x^2) für x gegen 0 schon 1 und mit 2 multipliziert dann 2?!? Habs mir no net so genau angschaut, wenn ich Blödsinn schreib bitte nicht gleich köpfen...!

[Sensei]

ich seh grad beim nenner kommt ja eigtl. auch 2 raus... 1/1 + (1-0)/1 ... ist 2! Also hebt sichs insges. wieder auf und ob wir jetzt 1/1 oder 2/2 hinschreibn is eh wurscht. also dein endergebnis scheint zu passen. sagtses mir, wenn ich einen blödsinn schreib...!

[Schof]

Ja stimmt du hast recht es ist beide Male das Endergebnis 2. Hab ich in meiner Euphorie ein Beispiel zusammengebracht zu haben glatt übersehen, Danke sensei

[the_unclean]

wie kommst du von f(x) limx->0 xtanx auf f'(x) limx->0 tan(x)+x/cos²x ?

erklär mir bitte die ableitung von diesem term

[mauerbluemchen]

@Schof: den Zähler hab ich auch so. Bei deinem Nenner kenn ich mich aber nicht aus. Meine Lösung für den Nenner:

x*tanx -> tanx + x*(1+tan^2x) -> 1 + tan^2x + 1 + tan^2x + x*((cosx-2*cosx - sinx)/ cos^4x)

Da aber ja x gegen 0 geht, kann man den komplizierten, hinteren Ausdruck außer Acht lassen und da (1 + tan^2x) gegen 1 geht und das ganze zweimal vorkommt, ist meine Lösung für den Nenner 2.

=> insgesamt daher: 1.

[Noride]

x*tan(x) -> 1*tan(x) + x * (x/cos^2(x))

tan(x)+ x* (x/cos^2(x)) -> 1/cos^2(x) + ((cos^2(x) + 2x*sin(x)*cos(x))/cos^4(x))


nach kürzen erhält man

2/cos^2(x) + (2x*sinx)/cos^3(x)

[mauerbluemchen]

x*tan(x) -> 1*tan(x) + x * (x/cos^2(x))der Tangens abgeleitet ergibt doch

1/cos^2(x) = (cos^2(x) + sin^2(x))/cos^2(x) = 1 + tan^2(x)

Oder irre ich da???

Nachtrag: btw denke ich nicht, dass ich mich irre. Man kann das ja auch folgenderweise mit der Quotientenregel fürs Ableiten angehen:

tan(x) = sin(x)/cos(x) = (cos^2(x)-(-sin^2(x)))/cos^2x = 1/cos^2(x)

[ibins]

du hast recht, ich habe alles mit tan(x)' = 1+tan^2(x) gerechnet und es stimmt, soweit ich weiß :)

[Noride]

hmm hier sollte natürlich

x*tan(x) -> 1*tan(x) + x*(1/cos^2(x)) stehen

ob man das dann auf 1 + tan^2(x) umformt oder nicht ist egal. Ich kann schließlich dann auch den Bruch x/cos^2(x) ableiten und komme auf das selbe ergebnis. Mit der Umformung auf 1+tan^(x) verringert man vielleicht die gefahr eines rechenfehlers

[Schof]

wie kommst du von f(x) limx->0 xtanx auf f'(x) limx->0 tan(x)+x/cos²x ?

erklär mir bitte die ableitung von diesem term

x*tanx ist ein Produkt, wenn ich das ableite muss ich die Produktregel anwenden die lauten (f*g)' = f'*g + g'*f
f = x
g = tanx

daher
f'*g = 1*tanx=tanx
g'*f = 1/cos²x (Tangensableitung)* x = x/cos²x

So hab ichs mir erklärt, vielleicht auch völliger Blödsinn, wenn so ist bitte sagen und aufklären.
ciao
Schof

[the_unclean]

Nein, mein ehemaliger Mathe Pof meinte a es wär richtig so
:scheity