View Full Version : [Frage] Bsp 6
DrWatson
14-03-2003, 15:03
Also bei diesem Beispiel häng ich gleich mal beim Ansatz. Wenn ich das richtig verstanden hab, müssen ja f und g beide gleich viele variablen enthalten (also f(x,y) und g(x,y)), mein problem ist nun, dass ich keine formel für das Kugelvolumen kenne, die außer dem Radius noch eine andere variable enthält. oder lieg ich da mit meinem ansatz komplett falsch??
Also bei diesem Beispiel häng ich gleich mal beim Ansatz. Wenn ich das richtig verstanden hab, müssen ja f und g beide gleich viele variablen enthalten (also f(x,y) und g(x,y)), mein problem ist nun, dass ich keine formel für das Kugelvolumen kenne, die außer dem Radius noch eine andere variable enthält. oder lieg ich da mit meinem ansatz komplett falsch??
sicher bin ich mir da nicht ganz...
das Kugelvolumen ist ja V = 4/3*PI*R³ hängt klarerweise nur von R ab.
also V ist gegeben, d.h. R ist auch gegeben.
demnach lautet f(r,h) = r²*PI*h (für den zylinder)
und g(r,h) also die nebenbedingung: g(r,h) = sqrt(r²+h²)-R = 0
dann kommt der lagrange'sche multiplikator ins spiel:
F(r,h,µ) = f+µg = r²*PI*h + µ*(sqrt(r²+h²)-R)
die partiellen ableitungen müssen alle null ergeben,
und diese sind:
Fr=2*r*PI*h + µ*2*r / (2*sqrt(r²+h²))
Fh=r²*PI + µ*2*h / (2*sqrt(r²+h²))
Fµ=sqrt(r²+h2)-R
(falls ich mich da nicht verrechnet hab ;))
(...)
dann komm ich vereinfacht auf sowas:
r³*(-2*PI)+r*(2*PI*R²) = 3
und dieser ausdruck lässt sich nicht anders als numerisch nähernd lösen.
vielleicht ist das ein schlechter ansatz :confused:
hat wer bessere vorschläge??
DrWatson
14-03-2003, 15:56
also genau so hab ich mir das auch vorgestellt. nur frage ich mich, wie du auf "g(r,h) = sqrt(r²+h²)-R" kommst?
das wirst du sofort sehen, wenn du mal die kugel und den zylinder skizzierst.
dann kommst du nämlich drauf, dass immer R²=h²+r² ist (pythagoras ;) )
und wenn man dann g(r,h) implizit darstellt hat man die funktion g(r,h)
also wenn r größer wird muss h kleiner werden und umgekehrt, weil R fix ist. irgendwo dazwischen wird's ja ein optimum geben wo wir ein maximum erreichen (sowas kommt in allen aspekten des lebens vor oder? :D )
verständlich?
Hallo,
Also ich habe als komplette Lösung erhalten:
rz = sqrt(2*k1/3)
wobei k1 sich berechnet aus dem Volumen der Kugel:
k1 = (Vk * 3 / ( 4*pi) ) ^ (2/3) = r^2
Ansatz über:
hz = höhe des Zylinders
rz = Radius des Zylinders
Vk = Volumen der Kugel
r = Radius der Kugel (Aus Vk)
g(x,y) = rz^2 + (hz/2)^2 - r^2 = rz^2 + (hz/2)^2 - k1
V(rz,hz) = rz^2*pi*hz
F(rz,hz,l) = V(rz,hz) + lg(rz,hz)
Ableitungen gebildet nach rz,hz,l
F_rz = 2*rz*pi*hz + 2*l*rz = 0
F_hz = rz^2*pi + 2*l*hz/4 = 0
F_l = rz^2 + (hz/2)^2 - k1 = 0
Nach dem lösen erhält man das als obiges Ergebniss.
Ich hab ein Problem bei der Überprüfung, ob ein Maximum vorliegt:
Aus der Gleichung
F_rz = 2*rz*pi*hz + 2*l*rz = 0
ergibt sich hz = - l/pi
Leitet man nochmals nach rz ab, erhält man
2*pi*hz + 2*l = 2*pi*(-l/pi)+2*l = - 2*l+2*l = 0
Der 1. Hauptminor müsste aber <0 sein ...
das können wir nicht wenn wir mit den langrangeschen multiplikatoren arbeiten. hierzu sind diese bedinungen mit positiv definit, bzw negativ definit (wie bei den quadratischen formen) nicht mehr gültig ->
* Näheres dazu im Buch
* Repetorium letzte Woche
Grüße,
Wolti
Aber du kannst es entweder dir graphische überlegen, was sicher eine vernünftige variante ist, oder einfach mal ein paar andere Funktionswerte für ein Beispiel ausrechnen -> Fällt auch in die Gattung untersuchen.
Ok danke, sowas hab ich mir schon gedacht.
Vielleicht sollt ich in Zukunft zum Repetitorium gehen.
wer sich noch in meine variante interessieren sollte :bounce:
der ausdruck lässt sich sehr leicht vereinfachen und ich komme auf die gleiche lösung wie die anderen
übrigens hab ich da einen fehler entdeckt, die letzte zeile sollte so ausschauen:
r³*(-2*PI)+r*(2*PI*R²) = 0
da hebe ich r heraus:
r*(-3*PI*r²+2*PI*R²) = 0
wenn die multiplikation 0 ergeben soll, dann muss der ausdruck in klammern 0 werden
(bem: da sieht man auch, dass es für r=0 auch ein extremum gibt, dieses ist allerdings das minimum, weil wenn r=0 ist gibt's ja überhaupt keinen zylinder ;))
2*PI*R² = 3*PI*r²
endergebnis : r = sqrt(2/3)*R
fehler melden bitte!
also nur zur Info... das Ergebnis wird bedeutend einfacher wenn man das Zylindervolumen
auf das Kugelvolumen zurückführt!!
aus Vz = r²*pi*h folgt ja
Vz = 2/3*sqrt(4/3)*pi*R³ (wobei R der radius der kugel ist)
aus Vk = R³*4/3*pi folgt -> R³ = 3/(4*pi)*Vk
-> Vz = 1/2*sqrt(4/3)*Vk
Vz = 1/sqrt(3)*Vk!!
sollte ich mich irgendwo verrechnet haben, was passieren kann, bitte berichtigen!
Wie funktioniert dieses Beispiel ? Ich check gar nix mehr, leider ... wie genau funktioniert dieser Multiplikator ? Finde es echt beschissen, dass der :devil: im Moment durch das Skriptum hüpft wie ein Wahnsinniger, man kann nichts durchgehend lernen ...
bitte helft mir, ich versteh das beispiel einfach nicht, und das 285er dadurch logischerweise auch nicht ... :confused:
@flowyes
sorry, aber ich check nicht, wie du auf R²=r²+h² kommst? ich hab´s mir zwar skizziert aber ich versteh´ nicht wie ...
@flowyes
sorry, aber ich check nicht, wie du auf R²=r²+h² kommst? ich hab´s mir zwar skizziert aber ich versteh´ nicht wie ...
ich hab grad sehr viel zu tun tut mir leid :(
also ich machs am besten so dass ich die zeichnung fotografier und poste :D
bisschen geduld ;)
Stop Stop Stop!
Vielen Dank Flowyes, aber ich hab´s jetzt doch gecheckt. Danke!
Seb
ach, ich wollt grad das photo posten ;)
tu ich trotzdem...
@ freek: ich versuch's mal mit einer Beschreibung:
also du musst dir vorstellen in der Kugel ist ein Zylinder drin, jetzt machst du durch die Kugel einen Querschnitt und zwar genau in der mitte, also praktisch durch die pole, also genau im Durchmesser...
Wenn man das zwei-dimensional aufzeichnet ist die Kugel mal ein Kreis, wohl noch leicht nachzuvollziehen und wenn du einen Zylinder in der Mitte durchschneidest, dann ist das ein Rechteck.
In unserem Bild heißt das genau, dass du also einen Kreis mit einem Rechteck drinnen hast, das den Kreis in vier Punkten berührt.
Logischerweise ist der Abstand vom Mittelpunkt zu einem solchen Berührpunkt gleich dem Radius der Kugel.
Dann als nächste Größe hast du die Höhe des Zylinders, wenn du die jetzt die beiden waagrechten Striche als den Durchmesser vom Zylinder und die Senkrechten als Höhe betrachtest, kommst sicha schnell drauf (also die Waagrechten und Senkrechten des Rechtecks)
Mach auf die untere Waagrechte einen Rechten Winkel durch den Mittelpunkt, dann ist der Abstand vom Schnittpunkt dieser Linie, mit der Waagrechten bis zum Mittelpunkt die halbe HÖhe und zum Berührpunkt auf der Seite der halbe Radius...
hm i glaub das sollt so stimmen
mfg Shine
DAS hab ich ja noch verstanden, war ja kein Problem, haben in der Schule genau solche Beispiele zum arschauswischen gerechnet ... was ich nicht verstehe ist der Lösungsweg mit dem Lagrangschen Multiplikatoren bzw. wie das vom Prinzip her mit denen funktioniert / was die können ...
zu allem überfluß finde ich auch meine Mitschrift vom 10.3. nicht, wo wir glaub ich genau das gemacht haben (vermute ich halt) ... :confused::confused:
aber trotzdem thx für die schnelle Antwort :verycool:
DAS hab ich ja noch verstanden, war ja kein Problem, haben in der Schule genau solche Beispiele zum arschauswischen gerechnet ... was ich nicht verstehe ist der Lösungsweg mit dem Lagrangschen Multiplikatoren bzw. wie das vom Prinzip her mit denen funktioniert / was die können ...
zu allem überfluß finde ich auch meine Mitschrift vom 10.3. nicht, wo wir glaub ich genau das gemacht haben (vermute ich halt) ... :confused::confused:
aber trotzdem thx für die schnelle Antwort :verycool:
da hab ich auch probleme ums ehrlich zu sagen. die idee die hinter dem lagrange'schen multiplikatoren steckt ist mir auch überhaupt nicht klar. was ich hier weiß ist die formel, und dass ein globales extremum dann vorliegt wenn die partiellen ableitungen alle 0 ergeben. das ist ein lückenhafter wissensstand aber damit komm ich aus ;)
kommst du mit diesen lösungsansätzen die bis jetzt gepostet wurden nicht klar??
übrigens, das foto war für sebus, aber er kennt sich glaub ich schon aus :D
grüße,
sini
ich glaub da stimmt was nicht bei euch, zumindest was ich gesehen hab (besonders Zeichnung) Ich muss nämlich für Do das Gleiche mit einer Halbkugel machen und wunder mich, dass nichts anders ist.
Aber in der Zeichnung ist mir dann aufgefallen, dass ihr statt mir h/2 mit h rechnet... eure Formel müsste lauten: sqrt(h^2/4 + r2)-R
Ich glaub ich irre mich nicht...
hth
das passiert alles deshalb weil wir zuviel lernen, oder lernen müssen, nicht wahr??
:distur:
alles muss ich jetzt nochmals überprüfen, ich hass das
nee, es stimmt schon, keine sorge :)
rz^2 + (hz/2)^2 - r^2
dass ist der ursprünglich angeschriebene ansatz dafür, beim ableiten neutralisiert sich das ganze dann aber, und das /4 kommt dadurch nie zum tragen.
ich habs unabhängig gerechnet und dasselbe rausbekommen wie wolti+co.
kann sein dass ich mich täusche, aber was wäre dann anders für einen Zylinder in eine Halbkugel?
Ps: ich glaub nicht, dass ich zuviel lern..., eher zu wenig. Vielleicht täusch ich mich deshalb :shinner:
naja, auf jeden fall mal die halbe höhe...ist ja dasselbe beispiel wie bei uns, nur, dass du unsere kugel in der mitte auseinanderschneidest(auf der saggitarialebene(?) des zylinders(parallel zu kreisfläche halt) und dann dein ergebnis hast. sonst wärs im wesentlichen dasselbe.
auf jeden fall ist die ansatzidee wie gepostet richtig(auch im querschnitt überprüfbar), und von diesem ansatz ausgehend gerechnet, hab ich dasselbe ergebnis erhalten. wär schon komisch, wenns 3+ leute selber ausrechnen und alle den selben fehler machen, ne?
ich geh halt einfach davon aus, dass es stimmt, den ultimativen beweis erhalten wir dann eh morgen :)
@Xellos:
ich seh auch, dass es nicht sooo schlimm ausschaut. ein bisschen was werd ich vielleicht umformen müssen. :)
oder nein, ich brauch ja überhaupt nichts ändern. rein intuitiv: der jenige zylinder, der das größte volumen haben soll und in eine kugel eingeschrieben wird, wird den selben radius haben, wie der jenige, der nur die halbe höhe hat, und dafür in eine halb so große kugel eingeschrieben wird. die proportionalität ändert sich ja nicht.
du hast Xellos glaub ich auch dasselbe gesagt, und zwar mathematischer...
danke für die unterstützung :scheity
grüße,
sini
passt schon, ich hab nicht alle Ansätze gelesen, du hattest eh recht, Xellos.
Hi! Ich wollt euch bitten, ob ihr ab den drei Gleichungen
Fx = ...
Fy = ...
Fz ) ...
zum endgültigen Ergebnis, Schritt für Schritt posten könntet wie ihr da tut?
Danke,
Seb
kein problem, flowyes, ich hab ja dasselbe gedacht dabei wie du :)
und ibins, trotzdem danke fürs gegenprüfen :) besser, du sagst was und täuscht dich, als du sagst nix und wir täuschen uns ;)
ohne anspruch auf korrekt- und oder vollständigkeit(hat sich grade SCHON ein fehler eingeschlichen):
rz=radiuszylinder, hz=höhezylinder, y=lambda, rk=radiuskreis
extrema rz^2*PI*hz
rz^2+hz^2=rk^2
d.h.
rz^2+(hz/2)^2=(V*3/(4*PI))^(2/3)
v=4/3*PI*rk^3
rz^2*PI*hz+µ*((V*3/(4*PI))^(2/3)-rz^2-(hz/2)^2)
F_rz=rz^2*PI*hz+y*(-rz^2)=2*rz*PI*hz-2*y*rz=0
F_hz=rz^2*PI*hz+y*(-(hz/2)^2)=rz^2*PI-y*hz/2=0
F_L=y*((V*3)/4*PI))^(2/3)-rz^2-(hz/2)^2)=rk^2-rz^2-(hz/2)^2)=0
2*rz*PI*hz=2*y*rz
PI*hz=y
rz^2*PI-(PI*hz)*hz/2=0
rz^2*PI-PI*hz^2/2=0
2*rz^2*PI/PI=hz^2
2*rz^2=hz^2
sqrt(2)*rz=hz
PI*sqrt(2)*rz=y
rk^2-rz^2-(sqrt(2)*rz/2)^2)=0
rk^2=rz^2+(sqrt(2)*rz/2)^2
rk^2=3*rz^2/2
sqrt(rk^2*2/3)=rz
hi, also ich krieg
h= sqrt(1/3*R^2)
r=sqrt(1/2*h^2) raus
(edit: man sollte umformen können...)
ich glaub das ist das Gleiche (@Flowyes: klar, es muss der gleiche Extremwert für den Radius des Drehkegels bei Kugel und Halbkugel herauskommen)
na dann wirds wohl stimmen :bounce:
ich glaub da stimmt was nicht bei euch, zumindest was ich gesehen hab (besonders Zeichnung) Ich muss nämlich für Do das Gleiche mit einer Halbkugel machen und wunder mich, dass nichts anders ist.
Aber in der Zeichnung ist mir dann aufgefallen, dass ihr statt mir h/2 mit h rechnet... eure Formel müsste lauten: sqrt(h^2/4 + r2)-R
F_rz = 2*rz*pi*hz + 2*l*rz = 0
F_hz = rz^2*pi + 2*l*hz/4 = 0
F_l = rz^2 + (hz/2)^2 - k1 = 0
Soweit ich weiss habe ich hier ueberall ein hz/4 bzw (hz/2)^2 drinnen. Ich habe sogar mein Ergebniss nocheinmal mit richtigen Werten gerechnet und auch ausprobiert.. Dort hat der Zylinder mal in die Kugel gepasst.
Grüße,
Wolti
vBulletin® v3.7.1, Copyright ©2000-2008, Jelsoft Enterprises Ltd.