Komplexe Zahlen (bsp204)

[Reis]

Ich hab probleme beim bsp 204

(1+j)^(1/4)

Ich sitz jetzt schon seit gestern davor und komm irgend wie auf keinen grünen Zweig!
Kann mir wer helfen

Danke!!!

[mauerbluemchen]

Mh... hab mich noch nicht wirklich damit beschäftigt, aber gibt's da nicht eine Formel von de Moivre oder so, die so ungefähr aussieht:

(cos n mal phi + i mal sin n mal phi) = (cos phi + i mal sin phi)^n

... bin mir da aber net sicher.

[mauerbluemchen]

So, ich hab mir jetzt was überlegt, vielleicht hilft dir das ja mehr:

wenn man von einer komplexen Zahl in trigonometrischer Form ausgeht:

z = r * (cos phi + i*sin phi) und das potenziert |^n

=> z^n = [r * (cos phi + i * sin phi)]^n

=> z^n = r^n * (cos phi + i * sin phi)^n

und da man ja die Potenz auf eine n-fache Multiplikation zurückführen kann -> Winkel n-mal addieren:

=> z^n = r^n * [cos (phi + phi + ... + phi) + i * sin (phi + phi + ... + phi)]

sieht das im Endeffekt dann folgendermaßen aus:

=> z^n = r^n * [cos (n * phi) + i * sin (n * phi)]

Ich hoffe, ich liege richtig!

P.S.: Sollte übrigens für alle n e Z, Q und R gehen -> daher auch fürs Wurzelziehen geeignet!

[Sensei]

geht so:

z = 1 + i

r = sqrt(a^2+b^2) = sqrt(1+1) = sqrt(2)
phi= arctan(b/a) = 45° entspricht pi/4

soweit sogut: z=[sqrt(2),pi/4] (auf trigonometrische Form gebracht)

Jetzt wurzel ziehen:

r' = sqrt^n(r) --> r' = sqrt^4(sqrt(2)) = sqrt^8(2)
4. Wurzel aus 2 ist also für alle Ergebnisse das r

Jetzt psi berechnen (wurzel von phi) mit folgender formel:

psi = (phi + 2*pi*k)/n
wobei psi der gesuchte winkel ist, phi der winkel von oben, k läuft von 0 bis n-1 und n ist der grad der wurzel, der gezogen werden soll:

psi1 = (pi/4)/4 = pi/16 (hier war k=0)
psi2 = (pi/4 + 2pi)/4 = pi*9/16 (hier war k=1)

selbiges für k=2 und k=3 - fertig! ZAhlen aufschreiben:

w1 = [r',psi1]
w2 = [r',psi2]
w3 = [r',psi3]
w4 = [r',psi4]
cu