View Full Version : [Frage] Bsp 7
Ich hab mit dem einfachsten beispiel angefangen :zwinker:
sieht jeder, dass der lim (...) = 1 ist?
DrWatson
11-03-2003, 19:49
Ich hab mit dem einfachsten beispiel angefangen :zwinker:
sieht jeder, dass der lim (...) = 1 ist?
Also dass da 1 rauskommt, glaub ich nicht. sin 0 = 0. Und somit würde ich sagen, dass da 0/0 rauskommt, was so ein unbestimmter Ausdruck ist (Vorlesung von Montag) und wir diesen lösen müssen.
Aber ist auch nur eine Vermutung.
wir lösen ja das unbestimmte 0/0 und machen's bestimmt. weil da 0/0 entsteht muss man die regel von de l'hospital anwenden (so schreibt man's glaub ich ;) )
und zwar zwei mal, denn bei der ersten ableitung kriegt man wieder 0/0, aber erst bei den zweiten ableitungen schaut's schöner aus:
also 1.ableitung:
lim (2x*cos(x²)) / (sin(x)+x*cos(x))
x-->0
ergibt 0/0
und die 2. ableitung:
lim (2*cos(x²)-sin(x²)*4x²) / (2*cos(x)-sin(x)*x)
x-->0
sin(x)*(x...) geht ja gegen 0, das heißt es bleibt 2*cos(x²) / 2*cos(x) was gegen 1 geht
grüße,
DrWatson
11-03-2003, 20:26
Ja, du hast recht. Soweit hab ich vorher noch nicht gedacht. Habs jetzt auch durchgerechnet, und bekomm ebenfalls 1 nach der 2-ten Ableitung heraus.
wir lösen ja das unbestimmte 0/0 und machen's bestimmt. weil da 0/0 entsteht muss man die regel von de l'hospital anwenden (so schreibt man's glaub ich ;) )
und zwar zwei mal, denn bei der ersten ableitung kriegt man wieder 0/0, aber erst bei den zweiten ableitungen schaut's schöner aus:
also 1.ableitung:
lim (2x*cos(x²)) / (sin(x)+x*cos(x))
x-->0
ergibt 0/0
und die 2. ableitung:
lim (2*cos(x²)-sin(x²)*4x²) / (2*cos(x)-sin(x)*x)
x-->0
sin(x)*(x...) geht ja gegen 0, das heißt es bleibt 2*cos(x²) / 2*cos(x) was gegen 1 geht
grüße,
Ist die 1. Ableitung nicht
2*cos(x^2) / cos(x) ?
Damit würde ich auch auf 2 als Grenzwert kommen?
Ist die 1. Ableitung nicht
2*cos(x^2) / cos(x) ?
Damit würde ich auch auf 2 als Grenzwert kommen?
so, 1.ableitung vom nenner:
f(x)=sin(irgendwas) --> f(x)`= cos(irgendwas)*die ableitung vom irgendwas ;)
also f(x)`=2*x*cos(x²)
vom zähler:
(produktregel) also doch sin(x)+x*cos(x)
glaub mir ;)
vielleicht hast du beim zähler das x am anfang übersehen
übrigens ist der granzwert 1 und nicht 2.
so, 1.ableitung vom nenner:
f(x)=sin(irgendwas) --> f(x)`= cos(irgendwas)*die ableitung vom irgendwas ;)
also f(x)`=2*x*cos(x²)
vom zähler:
(produktregel) also doch sin(x)+x*cos(x)
glaub mir ;)
vielleicht hast du beim zähler das x am anfang übersehen
übrigens ist der granzwert 1 und nicht 2.
Genau die innere Ableitung im Zähler hab ich schon mal sicher falsch (das x vergessen, so wie du sagst :) )
Danke
Michi
hallo.
das ableiten und so ist ja nicht schwer. aber da hätte ich eine frage: warum leitet ihr da ab um den lim() zu berechnen.
und gibt es zu diesem beispiel einen verweis zum baron-buch?
so, 1.ableitung vom nenner:
f(x)=sin(irgendwas) --> f(x)`= cos(irgendwas)*die ableitung vom irgendwas ;)
also f(x)`=2*x*cos(x²)
vom zähler:
(produktregel) also doch sin(x)+x*cos(x)
Achtung Blödsinn:
OK, das stimmt soweit, aber jetzt müssen wir doch die Produktregel anwenden oder? Ich hab das mal im Maxima eingetippt:
(C1) diff(sin(x^2)/(x*sin(x)),x);
2 2 2
SIN(x ) COS(x) SIN(x ) 2 COS(x )
(D1) - --------- - -------------- + ---------
2 2 SIN(x)
x SIN(x) x SIN (x)
Also, nochmal durchsehen hätt ich gesagt - oder hab ich was übersehen?
Michi
hallo.
das ableiten und so ist ja nicht schwer. aber da hätte ich eine frage: warum leitet ihr da ab um den lim() zu berechnen.
und gibt es zu diesem beispiel einen verweis zum baron-buch?
Das war der Stoff vom Dienstag bei der Aufgabe kommt ein unbestimmter Ausdruck (oder so raus) also 0/0 um da einen "guten" Wert zu bekommen kann man das ableiten, und nochmal den Limes berechnen, das solange bis was gescheites raus kommt - der Limes ist gleich für die Ableitungen wie für die Ausgangsgleichung.
Es gibt aber auch Funktionen, die nie was gescheites liefern...
Hm, Baron auf Seite 84 (so herum halt).
Michi
OK, das stimmt soweit, aber jetzt müssen wir doch die Produktregel anwenden oder? Ich hab das mal im Maxima eingetippt:
(C1) diff(sin(x^2)/(x*sin(x)),x);
2 2 2
SIN(x ) COS(x) SIN(x ) 2 COS(x )
(D1) - --------- - -------------- + ---------
2 2 SIN(x)
x SIN(x) x SIN (x)
Also, nochmal durchsehen hätt ich gesagt - oder hab ich was übersehen?
Michi
Schlagt mich und tut mir weh! - Hab da wohl was übersehen - De l'Hospital - also alles retour!
Sorry,
Michi
kommt schon vor, :p das ist mir sicher mehr als 3 mal passiert...
dass man den lieben de l`hospital vergisst
Aaaalso: Ein paar Kleinigkeiten kann ich da nicht nachvollziehen:
also 1.ableitung: lim (2x*cos(x²)) / (sin(x)+x*cos(x)) x-->0 ergibt 0/0 und die 2. ableitung: lim (2*cos(x²)-sin(x²)*4x²) / (2*cos(x)-sin(x)*x) x-->0
Also, die fettgedruckten Ableitungen kommen mir (ich bin wohlgemerkt kein großer Mathematiker) etwas strange vor. Kann mir das mal jemand kurz und bündig erklären ? THX !
*cheers
Dannyo
@Dannyo:
wie hättest du dir die ableitungen vorgestellt? ich hab sie mir nochmals durchgeschaut und fehler seh ich nicht ;)
bist du sicher, dass du den de l'hospital nicht vergisst?
also zähler und nenner getrennt voneinander ableiten....
Rein technisch hab ich eh kein Problem, leite Nenner und Zähler auch getrennt voneinander ab. Aber wie kommt man zum Beispiel auf das 4x² in der 2.Ableitung ???
Rein technisch hab ich eh kein Problem, leite Nenner und Zähler auch getrennt voneinander ab. Aber wie kommt man zum Beispiel auf das 4x² in der 2.Ableitung ???
g(x) = 2x*cos(x²) f(x) = 2x, h(x) = cos(x^2)
Wenn du eine Funktion g(x) hasst, die g(x) = f(x)*h(x), so ergibt sich die Ableitung als.
g'(x) = f'(x)*h(x) + f(x)*h'(x)
f'(x) = 2
h'(x) = sin(x^2)*2*x <-- Hier kommt natürlich die innere Ableitung !
f'(x) = 4*x^2*cos(x^2) + 2*cos(x^2)
Grüße,
Wolti
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