Bsp 337

[wolti]

Hallo,

Wie schauts denn bei euch so beim Grenzwert aus. Mich aergert der ein bisschen.

f(x,y) = (x*cos(1/x) + y*sin(y)) / (2*x -y)

machen wir zuerst limes für x -> 0.

ich habe P(x,y) = x*cos(1/x) * y*sin(y) -> fuer x->0 = y*sin(y)
ich habe N(x,y) = 2*x - y -> fuer x->0 = -y

Nenner ungleich 0, daher Quotientenregeln okay. Wir erhalten dann.

lim f(x,y) für x -> 0 = y*sin(y)/-y = - sin(y) = f'(x,y)

lim f'(x,y) für y -> 0 = 0 --> Okay.. Sind wir mal zufrieden.

Lassen wir zuerst y gegen 0 gehen erhalten wir.

lim f(x,y) für y -> 0 = cos(1/x)/2

nun geht aber kein limes mehr für x -> 0. In diesem Fall existiert also der Grenzwert nicht würde ich behaupten. Daher gibt es auch den Grenzwert für x,y -> 0 nicht. Oder wie sehts ihr das ?

Grüße,
Wolti

[psycho]

naja bei meinem beispiel ist das eh auch so ähnlich(bin mittwoch).
also das mit dem cos(1/x) mit x->0 hat keinen grenzwert, das dürfte mal feststehen.

aber könnte man nicht vielleicht x und y gleichsetzen, wenn beide gegen 0 gehen, und davon den grenzwert berechnen (k.a. ob das stimmen kann)

[Shine]

geb auch mal meinen Senf dazu, aber ohne Gewähr...

also ich hab mal die Funktion auf zwei Brüche aufgeteilt..
x*cos(1/x)/(2x-y)
und
y*sin y/(2x-y)

oka dann mal von jedem den lim x->0
Dann haben wir mal im Nenner jeweils -y
bei dem ersten Bruch im Zähler geht mal sicher x gegen Null, das heißt 1/x gegen unendlich, aber cos(1/x) bleibt ja immer noch periodisch, also hat das gar keinen Grenzwert, immer irgendwas zwischen -1 und 1, daher sagen wir mal 0* das irgendwas ist null, damit haben wir für den ersten Bruch, dass er gegen 0 geht, weil 0*irgendwas/-y (allerdings das -y geht auch gegen 0 hm??)

zweiter bruch ist einfacher, bei dem kann man dann y und -y kürzen und es bleibt - sin y, was für y->0 sicher 0 ist, sin 0 ist ja 0 oder?

in die zweite richtung ist's aber auch net besser..
da ist der erste bruch für y->0
x*cos(1/x)/2x, da kann man durch x kürzen dann hat man
cos(1/x) /2
naja 1/2 lim(x->0) cos(1/x) ist auch irgendwie nicht definiert... also schon wieder sowas komisches...
und auf der anderen seite hab ich noch mal aufgeteilt
nenner für y->0 0*0
Zähler für y ->0 (2x)
jezt ist aber lim(x->0) von 0/2x 0/0 auch nicht definiert..

hm blödes beispiel..
wieso mach ma sowas? das hama gar net gmacht noch *verzweifel**
mfg

[sebus]

@wolti hast du vielleicht einen Fehler bei

ich habe P(x,y) = x*cos(1/x) * y*sin(y) -> fuer x->0 = y*sin(y)

Gehört da nicht

ich habe P(x,y) = x*cos(1/x) + y*sin(y) -> fuer x->0 = y*sin(y)

Kann mir vielleicht ausserdem noch jemand erklären was der Unterschied der beiden gegebenen iterierten Grenzwerte ist?
Worin liegt der Unterschied, ob zuerst x->0 und dann y->0 geht oder umgekehrt?
Ich check den Kram leider nicht wirklich.

[sebus]

hi!
Ok, ich hab jetzt gecheckt wie ihr das gemacht habt und meiner Meinung nach liegt der Hund beim Kürzen des Ausdrucks

x*cos(1/x)/2*x

welcher nachdem man y->0 gehen ließ entsteht.

Deshalb finde ich, kann man durchaus einen wichtigen Unterschied zwischen zuerst x->0 und dann y->0 gehen lassen und der anderen Variante y->0 und dann x->0 gehen lassen.
Da bei zuerst x->0 gehen lassen, der Ausdruck

0/-y

entsteht.
Dieser wiederrum für y->0 = 0 meiner Meinung.
Generell find ich die Zerlegung von Shine fast cooler als dieses Zähler Nenner Zeugs :)

[Vitruv]

Könnte mir bitte jemand diese Zeile näher erklären:

---
lim f(x,y) für x -> 0 = y*sin(y)/-y = - sin(y) = f'(x,y)
---

In welchem Zusammenhang steht der limes mit der Ableitung?

[ibins]

könnt wer das richtige Ergebnis posten? Wär ganz lieb !

bitte :bounce:

[wolti]

gugus,

Okay:

f(x,y) = (x*cos(1/x) + y*sin(y)) / (2*x -y)


1) lim x->0 lim y->0 f(x,y) undefiniert.

Klar.. fuer cos(1/x) existiert kein Grenzwert.

2) im y->0 lim x->0 f(x,y) = 0

hier gibt es den Grenzwert fuer x gegen 0. Dies kann man sehr leicht argumentieren.

lim x * cos (1/x) = lim x * lim cos(1/x)

x ist eine Nullfolge, cos(1/x) ist beschränkt. Produkt einer Nullfolge und einer beschränkten Folge ist auch eine Nullfolge.

3) Der Limes füer (x,y) -> (0,0) existiert nicht. Würde existieren wenn beide Grenzwerte existieren und diese gleich sind.

Grüße,
Wolti