Bsp 5

[wolti]

Hallo,

Hat sich jemand von euch schon mit diesem Beispiel beschäftigt. Die Frage ist ob diese Funktion G(x,y,z) implizit angeben ist, da er einen großen Buchstaben für die Funktion verwendet hat. Falls das so ist wird das Problem meiner Meinung nach relativ schwer zu lösen. Nehmen wir an wir hätten folgende Situation:

G(x,y,z) = m(x^2 + y^2 + z^2) + 6*x*y + 8*y*z + 2*x + 8*y + 2*z -42

g(x,y) = z = ... <- Kennen wir nicht.

Wir benötigen nun für die Bestimmung der Extremwerte die partiellen Ableitung von g(x,y) nach x und nach y und müssen diese 0 setzen. Das können wir aber nicht direkt, da wir die Funktion nicht kennen, aber es gilt.

Hinweis: Da ich das Symbol für partielle Ableitungen nicht habe werde ich d' dafür schreiben.

d'g(x,y)/dx = - Gx(x,y,z)/Gz(x,y,z)
d'g(x,y)/dy = - Gy(x,y,z)/Gz(x,y,z)

(Buch Seite 90, Hauptsatz über implizite Funktionen)

Dann erhält man zwei Lösungen, poste sie hier jetzt nicht extra, wobei allerdings problembehafteterweise ein z drinnnen bleibt was nicht praktisch ist für die Lösung. Allerdings habe ich mir gedacht.

Wenn es ein Extremum ist, da muss ja der Vektor darauf normalstehen. Der x und y Teil des Vektors ist 0 und z = -1. Man hat nun drei Gleichung, da man F(x0,y0,z0) ausrechnen kann und dann dieses Gls mit (0,0,-1) gleich setzen kann. Dann kann man nach m Lösungen ermitteln. Schaut aber kompliziert aus und ist falsch :-(

Oder habts ihr das auf dem anderen Weg gerechnet ?

Grüße,
Wolti

[wolti]

Huhu,

Eine andere Idee. Nehmen wir an wir haben G(x,z,z) als implizit angebene Funktion. Ich mache nun folgendes:

G(x,y,z) = m(x^2 + y^2 + z^2) + 6*x*y + 8*y*z + 2*x + 8*y + 2*z -42

für z setzen wir ein, es sei klein g(x,y)

G(x,y,z) = m*x^2 + m*y^2 + m*g(x,y)^2 + 6*x*y + 8*y*g(x,y) + 2*x + 8*y + 2*g(x,y) - 42 = 0

Gx(x,y,z) bilden (Partielle Ableitung nach x.) Wir erhalten wenn wir das obige Differenzenieren.

Nach x: 2*m*x + 2*m*g(x,y)*gx(x,y) + 6*y + 8*y*gx(x,y) + 2 + 2*gx(x,y)
Nach y: 2*m*y + 2*m*g(x,y)*gy(x,y) + 6*x + 8*g(x,y) + 8*y*gy(x,y) + 8 + 2*gy(x,y).

Wir wissen, dass gx(x0,y0) = 0 ist und auch gy(x0,y0) = 0 ist. Wir setzen das ein.

1) 2*m*x + 6*y + 2 = 0
2) 2*m*y + 6*x + 8*g(x,y) + 8 = 0

Dann haben wir mit der oberen Gleichung 3 Gleichungssystem und 3 unbekannte. Wir koennten das ganze also eigentlich loesen. Allerdings wird bei mir die Loesung sehr kompliziert. Jemand von euch eine bessere Idee gehabt ?

Grüße,
Wolti

[Judas42]

hab mir das ganze mit maple angschaut (plot3d). wenn ich nix übersehn hab muß m auf jeden fall positiv sein. sonst steht ich aber absolut auf der leitung. nach 4 stunden mit dem beispiel hab ich aufgegeben... bin schon gespannt, wieviele das beispiel bei der übung ankreuzen.