kern der abb. einer matrix

[lolaB]

hi,
im PO vom 23.1.96 ist eine aufgabe, die ich nicht verstehe:

man soll (u.a.) den kern von A ermitteln, bei folgenden angaben:

A(2,0) = (2,1)
A(1,2) = (1,3)

wie kann ich das angehen? hab mir die anderen threads zu dem thema angesehen, aber da kommen überall mehr 0er vor, sodass unbekannte wegfallen ...

thx & lg,
lola

[boni]

hi,
man soll (u.a.) den kern von A ermitteln, bei folgenden angaben:

A(2,0) = (2,1)
A(1,2) = (1,3)

lola

Als erstes rechnest du dir die Matrix bezüglich der kanonischen Basis aus, also eh das, was wir als die Abbildungsmatrix kennen.

du hast ja gegeben A*(2,0)=(2, 1) und A*(1,2)=(1, 3).
Schreib dir die Abbildungsmatrix mal allgemein als 2*2 Matrix mit den noch nicht bestimmten Elementen (a_ij) auf. Dann multipliziere die gegebenen Vektoren mit der Matrix und du bekommst zwei kleine lin. Gleichungssysteme

also
a_11*2 + a_12 * 0 = 2
a_11*1 + a_12 * 2 = 1

und
a_21*2 + a_22 * 0 = 1
a_21*1 + a_22 * 2 = 3

==> a_11=1, a_21 = 1/2
a_12=0, a_22=5/4

Alles bisher war die Berechnung der Matrix bzgl. der kanonischen Basis

Die daraus entstehende Matrix kann man jetzt auf Zeilen-Stufenform bringen (in dem Fall nicht viel Rechnerei ;) ), und da sieht man sie hat den Rang 2, d.h. die Zeilen/Spaltenvektoren sind l.u.

Wir wissen außerdem
dim Kern A + Rang A = dim Urbildraum
Rang A = 2, dim Urbildraum = 2
==> dim Kern A = 0
Das ist dann schon das Ergebnis. Daraus folgt
==> Kern A = {o}

Grüße,
Christoph

[Sensei]

alternati für die Kern Berechnung, und etwas allgemeiner:

Du ziehst die Matrix bzgl. der kan. Basis (boni hat die Errechnung ja schon erklärt) heran, multiplizierst sie mit einem allgemeinen Vektor (x, y) und setzt das Ergebnis lt. Def. des Kerns gleich 0, d.h.:


/ 1 1/2 \ /x\ /0\
\ 0 5/4 /*\y/ = \0/

Und kommst daher auf die beiden Gleichungen:
x + 1/2*y = 0
5/4*y = 0

Daraus (aus der 2. Gl.) folgt, dass y = 0 und x damit auch = 0
Kern(A) = {o} (klein o, also der Nullvektor)

cu, hoffe das hilft, sensei