Metrik & Kugelumgebungs-Beispiele

[Tiniiiii]

Hi!

Hat jemand von Euch die Beispiele 222 - 225 (oder sogar noch weiter) gecheckt bzw. hat eine (sinnvolle) Mitschrift/Lösung von dieser Übung, (Metrik, Kugelumgebungen, etc.) die er/sie posten oder mailen könnte??? Die Ergüsse im Forum helfen mir leider nicht wirklich weiter ... Wär ein Hit für die Prüfung!

Danke schon jetzt!
Martina

[Georg Kraml]

Ich hab nicht direkt eine Lösung zu 222-225, aber ich habe hier im Institut einen Haufen Ausarbeitungen zu vermutlich sehr sehr ähnlichen Beispielen, die ich gerne mit der Öffentlichkeit teile. Wer mag, kann mich in meiner Sprechstunde besuchen und meine Mathesammlung scannen.

[boni]

Hi!

Hat jemand von Euch die Beispiele 222 - 225 (oder sogar noch weiter) gecheckt bzw. hat eine (sinnvolle) Mitschrift/Lösung von dieser Übung, (Metrik, Kugelumgebungen, etc.) die er/sie posten oder mailen könnte??? Die Ergüsse im Forum helfen mir leider nicht wirklich weiter ... Wär ein Hit für die Prüfung!

Danke schon jetzt!
Martina

Ich gebe jetzt als Beispiellösung 222 an.

Da wir hier viele Indizes und keine Multiplikationen haben, schreibe ich für Indizes z.B. xi statt dem üblichenb x_i

Im Prinzip ist 222 gar nicht so schwer. Du hast einerseits n metrische Räume X1, ..., Xn und einen "Raum" (nicht unbedingt n-dimensional, siehe nächstes Beispiel), der aus XIx...xXn entsteht und von dem du zeigen sollst, dass er ein metr. Raum ist.
Für zwei Elemente (x1, ..., xn) und (y1, ..., yn) wird nun eine Metrik (das werden wir aber erst beweisen) definiert durch d((x1, .., xn), (y1, ..., yn)) = max(di (xi, yi)) über die Xi. Das heißt du betrachtest zuerst x1 und y1 an, als wären sie Elemente aus X1 und schaust was dir dein auf X1 definiertes d1 "ausspuckt". Das machst du für alle xi, yi, Xi, di. Nun nimmst du den größten Wert, den du zurückbekommen hast. Der ist dann dein d((x1, ..., xn), (y1,..,yn)). Es ist wichtig, sich vor Augen zu führen, dass man immer die Elemente an einem bestimmten "Platz" dem gleichen metrischen Raum zuordnet.

Nun weist man nacheinander die Eigenschaften einer Metrik nach.

1.) d(x,y) >= 0 f.a. x, y

Das ist einfach, du hast ja bereits lauter metrische Räume. Da du die maxima der di(xi, yi) nimmst, ist dein d auf jeden fall >= 0, da jedes di in der Angabe als Metrik definiert ist und somit sicher >= 0 ist.

2.) d(x, y) = d(y, x) f.a. x, y

Auch das ist nicht schwer. Sei dk(xk, yk) größer als alle anderen di(xi, yi), so wird auch dk(yk, xk) größer als die anderen di(yi, xi) sein, da du ja beide Male die gleichen Paare von Elementen vergleichst. Das folgt wieder aus der definition, die deine Xi als metrische Räume definiert udn die Eigenschaft bereits voraussetzt.

3.) Dreiecksungleichung:
d(x, y) <= d(x, z) + d(z, y)

Das ist der "schwerste" teil dieses Beweises.

Sei dk(xk, yk) die größte aller di(xi, yi). So gilt gem. Def. auf jeden Fall
dk(xk, yk) <= d(xk, zk) + d(zk, yk)

Nun kann es aber sein, dass z.B. dm(xm, zm) größer als dk(xk, zk) ist. Das ist aber egal, denn wenn du zur rechten Seite der Ungleichung etwas dazuaddierst, bleibt sie ja trotzdem wahr. Das gleiche gilt für di(zi, yi).

Damit haben wir alle Eigenschaften nachgewiesen.

Wie das ganze praktisch aussieht siehst du in 223.

X = R^3 = X1 x X2 =

d((x1, x2, x3), (y1, y2, y3)) rechnest du nun als
max(d((x1, x2), (y1, y2)), d(x3, y3)). Das bedeutet -und jetzt werden wir endlich konkreter- du vergleichst die ersten beiden Koordinaten in R^2 und die dritten Koordinaten in R mit der Euklidischen Metrik (das, was wir normalerweise einfach Abstand kennen) und das Maximum dieser beiden Werte ist dann dein d.

Um es noch etwas anschaulicher zu machen: das was hier als (x1, x2, x3) daherkommt würden wir normalerweise (x, y, z) nennen, aber die Buchstaben werden laut dieser Def halt anders verwendet.

Die "Kugelumgebung" setzt sich jetzt aus der KU von R^2 (Kreis) und R (Intervall auf einer Gerade) zusammen. Da wir für einen Punkt immer das größere der beiden Ergebnisse heranziehen, kann man sich jetzt vorstellen, man "verschiebt" den Kreis auf der Strecke, die im rechten Winkel durch den Mittelpunkt "gesteckt" wird. Dadurch entsteht ein Zylinder (mit der Achse gleich der z-Achse), der die Kugelumgebung darstellt.

Der beweis der Metrikeigenschaften von 224 ist für 1) und 2) ähnlich und genauso einfach, für 3) kann man sich überlegen, dass wenn die Dr-Ugl. für alle Summanden gilt sie wohl auch für die Summe gelten wird. Das muss man sich halt schön zurechtlegen.

225: Kugelumgebung: zwei an den Basisflächen aufeinanderstehende Kegel. (hier bin ich mir nicht 100%ig sicher, hab ich mir nur kurz angeschaut).

Schöne Grüße und viel Glück bei der Prüfung,
Christoph