Trennen dieser Gleichung

[TOMM (Harmanic)]

Hallo! Im Buch auf Seite 319 ist ein Beispiel zu einer inhomogenen partiellen Differentialgleichung, wo man bei Bilden der Phasen-Differentialgleichung auf
dx/dy = (x/y) + 1
kommt.
Nun steht da: "Lösen dieser linearen DGL 1.Ordnung liefert die allg. Lsg x = y*log(y) + c1*y und somit das 1.Integral..

Diese Gleichung ( dx/dy = (x/y) + 1 ) ist doch
1. nicht linear
2. schwierig zu trennen, oder?. Wie kommt man auf die Lösung, versteht ihr das?

was verstehe ich hier falsch?
danke, liebe grüße
tomm

[JasonB]

genau die selben fragen habe ich mir gestern abend auch gestellt, aber ich bin dann doch auf die lösung gekommen :shinner::

du formst die gleichung um auf die DGL:

dx/dy - x/y = 1, wobei 1 deine störfunktion s(x) ist und du rechnest dir zuerst die homogene lösung mit s(x)=0 aus, da kommt dann Yh= x*C raus, und durch variation der konstanten die partikulärlösung Yp=x*lnx + xD (mit irgend. konstante D). homogene und part. zusammenzählen und du kommst auf die allgemeine lsg aus dem buch.

hoffe das war halbwegs verständlich!

EDIT: was ich mich aber bei dem bsp selbst noch frage, wie kommt er "durch trennen der variablen" auf die allerletzte gleichung auf seite 319?

[TOMM (Harmanic)]

Danke für die rasche Antwort :)

das hab ich auch so versucht, yh=x*C habe ich auch bekommen.
bei der variation der konstanten ist es allerdings nicht so schön:

yp= x*C(x)
-> y'p = C(x) + x*C'(x)

einsetzen:

y' -x/y = 1 wird zu
C(x) + x*C'(x) - 1/(C(x)) = 1

wie bekomm ich hier das C(x) raus? Trennung? Normalerweise sollten sich ja hier die nicht abgeleiteten C Terme aufheben oder so

[JasonB]

Danke für die rasche Antwort :)

das hab ich auch so versucht, yh=x*C habe ich auch bekommen.
bei der variation der konstanten ist es allerdings nicht so schön:

yp= x*C(x)
-> y'p = C(x) + x*C'(x)

einsetzen:

y' -x/y = 1 wird zu
C(x) + x*C'(x) - 1/(C(x)) = 1

wie bekomm ich hier das C(x) raus? Trennung? Normalerweise sollten sich ja hier die nicht abgeleiteten C Terme aufheben oder so
das x aus der angabe kürzt sich mit dem x von Yp' weg, damit fallen dann auch die beiden C(x) weg und es bleibt dann nur noch C'(x)*x=1 über, und daraus C(x) ausrechnen.

[TOMM (Harmanic)]

aah okay ich weiß jetz was ich falsch gerechnet hab. da steht ja dx/dy und nicht dy/dx. man hat also nicht y' -x/y = 1 sondern eigentlich sowas wie x' - x/y = 1 und dann kürzt sich das sehr wohl weg. hab mich da verschaut und in folge dessen verrechnet. Übrigens ist diese Rechnung Teil von Aufgabe 82 der Übung.

Danke für deine Hilfe!
Greetz tomm