alte Prüfung 30.11.07 BSP1

[Superwinki]

Ich rechne gerade fröhlich die alten Prüfungen durch und möchte gerne wissen, ob sich jemand von euch dieses Bsp. angesehen hat, bzw. in meinem Rechengang einen Fehler findet:

Angabe: y'' - 7y' + 12y = e^x * sinx + e^3x

Für die homogene Lösung erhalte ich: yh(x) = C1 * e^4x + C2 * e^3x

Als Versuchslösung wähle ich:
yp(x) = A0 * e^x * (A0 * sinx + B0 * cosx) + A1 * e^3x * x

Eben hier bin ich mir nicht ganz sicher - laut Buch (S. 298) muss ich die Versuchslösung zusammensetzen und ich weiß nicht, ob ich das richtig gemacht habe.

Ich prüfe dann auf Resonanz: die Versuchslösung ist nicht Teil der homogenen Lösung --> also weiterrechnen

y'p(x) = A0 * e^x * (A0 * sinx + A0 * cosx + B0 * cosx - B0 * sinx) + A1 * e^3x * (3x + 1)

y''p(x) = A0 * e^x * (2 * A0 * cosx - 2 * B0 * sinx) + 3 * A1 * e^3x * (3x + 2)

Eingesetzt in die Angabe ergibt dies nach einigem Herumrechnen:

e^x * (5 * A0^2 * (sinx - cosx) + 5 * A0 * B0 * (sinx + cosx) - A1 * e^3x = e^x * sinx + e^3x

Daraus bestimme ich A1 = -1

und in weiterer Folge: B0 = A0 und A0 = sqrt(1/10)

Somit komme ich auf die Endlösung:
y(x) = yh + yp = C1 * e^4x + C2 * e^3x + e^x * 1/10 * (sinx + cosx) - e^3x * x

Sollte sich jemand ebenfalls an dieses Beispiel gesetzt haben wär es super, wenn wir Rechenwege / Ergebnisse vergleichen könnten!

[Xonic]

hallo!

endlich wer, der mitmacht :)

also wir ham uns schon heftig mit dem bsp. herumgschlagen und sind noch auf keinen grünen zweig gekommen.
da im buch folgendes steht:

[...] kann man zunächst partikuläre Lösungen der inhomogenen gleichungen für die einzelnen komponenten der störfunktion bestimmen und diese dann [...] zu einer gesamtlösung der ursprünglichen gleichung kombinieren.

haben wir die s(x) aufgeteilt in s1(x) = e^x sin x
und s2(x) = e^3x

bis zu s2 sind wir aber gar nicht gekommen, da wir A0 und A1 für s1 nicht bestimmen können. ich kam auf:

(cos x(-5A0 - 7A1)) + (sin x(5A1 - 7A0)) = sin x

sodass (-5A0 - 7A1) == 0
und (5A1 - 7A0) == 1 gelten müsste, was in meinen augen aber ein widerspruch ist.

vielleicht kannst du mal versuchen die störfunktion aufzuteilen und einzeln zu berechnen? wir kommen da jedenfalls nicht weiter... :(

[Superwinki]

Man hat mich heute in meiner Lerngruppe auf einen Fehler aufmerksam gemacht - die Versuchslösung sollte (analog zur Tabelle im Buch S.298, letzte Zeile) mit einem A0 weniger auskommen.

Korrekt sollte es also lauten:
yp(x) = e^x * (A0 * sinx + B0 * cosx) + A1 * e^3x * x

Damit fällt das A0^2 weg und wird zum bedeutend schickeren A0 --> es sollte also ein Ergebnis ohne Wurzelwert herauskommen. Ich muss das allersdings erst nochmal durchrechnen - ich poste dann meine Lösung bzw. wenn gewünscht auch den Rechenweg.

Bezüglich Aufteilung der Störfunktion: geht natürlich (so wie ich das verstanden habe)
s1 = e^x * sinx
s2 = e^3x

Die einzelnen Störfunktionen aufgelöst sollte dann trotzdem (nach den Formeln der Tabelle) folgendes ergeben:
yp1(x) = e^x * (A0 * sinx + B0 * cosx)
yp2(x) = A1 * e^3x *x

Vorausgesetzt ich habe mich nicht beim Ableiten / Zusammenziehen der Terme verhaut sollte für A1 trotzdem folgendes übrigbleiben:
..... (hier steht der Term für yp1(x)) - A1 * e^3x = e^x * sinx + e^3x

Um den Cosinus und den Sinus entsprechend loszuwerden habe ich mich derselben Rechenweise wie du bedient (meine 5er und 7er haben sich allerdings in Wohlgefallen aufgelöst) - ich werde das morgen nochmal mit der richtigen (?) Versuchslösung berechnen und neu integrieren - sofern ein sauberes Ergebnis rauskommt poste ich gleich wieder.

[Xonic]

ah sehr gut... wir ham uns schon über dieses doppelte A0 gewundert, wussten aber nicht ob das nun ein fehler deinerseits war, oder ob wir den falschen ansatz hatten.

ich denke so passt nun alles, außer dass wir es nicht hinkriegen, den teil von s(n) mitm sinus so aufzulösen, dass was gescheites dabei rauskommt....
solltest du das hinkriegen, bitte poste auch den rechenweg - danke!

wenn du magst schau auch mal in den fred "lösungen austauschen" von mir rein, vll können wir die bsp. ja auch durchgehen?

lg

[Xonic]

also ich komm jetz auf folgende allgemeine lösung:

y(x) = c1 * e^4x + c2 * e^3x - 7/74sinx + 5/74cosx + 1/6e^x

imho

[Xonic]

(cos x(-5A0 - 7A1)) + (sin x(5A1 - 7A0)) = sin x

sodass (-5A0 - 7A1) == 0
und (5A1 - 7A0) == 1 gelten müsste, was in meinen augen aber ein widerspruch ist.

das nehm ich wieder zurück... is ja ein einfaches gleichungssystem, das ohne probleme gelöst werden kann...

[Sepp13]

wer kann mir sagen wie beispiel 2 geht??
Bestimmen sie mit hilfe der Lagrang... den punkt der auf der parabel x^2+y=1 liegt und dem ursprung am nächsten ist...

[Xonic]

ok ich glaube jetzt, dass ich da immer ain zwei feler drin hatte... :)

jedenfalls krieg ich jetz was besseres raus:

y(x) = C1e^4x + C2e^3x + 1/96e^3x + 1/5e^x(1/2sin(x) + 1/2cos(x))

[Newbie0815]

EDIT: sry hab überlesen, dass es sich hier um die prüfung vom 30. handelt ...
ich habe mir mal die gittenbergerprüfung vom 12. Oktober angesehn und da würde ich gerne wissen, ob jmd das gleiche hat:

also bei mir kommt hier bei a) das raus: (produktregel angwendet (fx*x' + fy*y')) mit cos(u) = x und sin(u) = y .... => cos(u)*e * -sin(u) + sin(u)*e*cos(u) (nur e weil cos²(x) + sin²(x) = 1 ergeben) und das ergibt dann insgesamt 0... kann das stimmen?

zu b) ... naja ich hätte gesagt stammfkt ausrechnen und das ergibt 1/2 * e^(x²+y²)


zu 2) da bin ich gerade dran, aber hoffe dass jmd das schon gelöst hat ....

so bei mir kommt hier nach dem integrieren mit substitution ln(sqrt(lnx)) mit den grenzen von 1 bis unendlich (bzw c) ... da ich im moment noch keinen taschenrechner habe, weiß ich nicht genau, nach welchen wert das jetzt konvergiert, aber ich glaube nach 1

EDIT: im buch s 220 wird das integralkriterium erklärt

mfg

PS: hätte noch eine frage: was lernt ihr alles vom theoretischen her? ich weiß nicht, ob ich jetzt das ganze zeug mit dem mittelwertsatz etc lernen soll, weil eigentlich sagt das noch nicht so viel aus, sondern zB erst bei der bestimmung von extrema etc kommt der ins spiel - aber genauer kenne ich mich da uach nicht aus

[chrisM]

yp(x) = e^x * (A0 * sinx + B0 * cosx) + A1 * e^3x * x


woher kommt das * x ganz am ende?

[a9bejo]

wer kann mir sagen wie beispiel 2 geht??
Bestimmen sie mit hilfe der Lagrang... den punkt der auf der parabel x^2+y=1 liegt und dem ursprung am nächsten ist...

Ich vermute das mit dem Ursprung kannst Du einfach so interpretieren: Nebenbedingung: x + y = 0 . Dann kommt mir der Punkt P(0.5, -0.5) heraus, und graphisch betrachtet scheint der auch tatsaechlich dem Mittelpunkt am naechsten zu liegen.

[Sepp13]

nein habs derweilen gelöst das stimmt nicht ganz du musst als nebendeingung die parabel nehmen und als hauptbedingung(x^2+y^2)^1/2

[a9bejo]

nein habs derweilen gelöst das stimmt nicht ganz du musst als nebendeingung die parabel nehmen und als hauptbedingung(x^2+y^2)^1/2

oh, schade. Und wie kommst Du auf die Hauptbedingung?

[a9bejo]

zu 2) da bin ich gerade dran, aber hoffe dass jmd das schon gelöst hat ....

so bei mir kommt hier nach dem integrieren mit substitution ln(sqrt(lnx)) mit den grenzen von 1 bis unendlich (bzw c) ... da ich im moment noch keinen taschenrechner habe, weiß ich nicht genau, nach welchen wert das jetzt konvergiert, aber ich glaube nach 1

EDIT: im buch s 220 wird das integralkriterium erklärt



Bei mir kommt da auch ln(sqrt(lnx)) raus, mit den selben Grenzen. Aber meiner Ansicht nach konvergiert das ueberhaupt nicht, weil ln(sqrt(ln(UNENDLICH))) - ln(sqrt(ln(1))) doch nach unendlich strebt, also divergent ist?

Edit: Scheint zu stimmen, zumind. hat das jemand anders auch so: http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=58184

[Xonic]

oh, schade. Und wie kommst Du auf die Hauptbedingung?
die hauptbedingung ergibt sich daraus, dass du anhand vom satz d. pythagoras die kürzeste hypotenuse, also gerade, vom ursprung zur parabel hin suchst.
daher ist die parabel auch die beschränkende nebenbedingung.

[a9bejo]

die hauptbedingung ergibt sich daraus, dass du anhand vom satz d. pythagoras die kürzeste hypotenuse, also gerade, vom ursprung zur parabel hin suchst.
daher ist die parabel auch die beschränkende nebenbedingung.

Vielen Dank, das klingt einleuchtend. Da waere ich uebrigens eventuell im Laufe der Zeit sogar selbst draufgekommen, aber im Verlauf einer Pruefung fuehrt sowas bei mir zu einem 0 Punkte Beispiel. Ich finde so ein Stolperstein passt gut in eine Uebungsgruppe, aber nicht in eine Pruefung. Jeder andere Prof. haette da vermutlich einfach eine 0815 Aufgabenstellung mit gegebener Funktion und Nebenbedingung gegeben.

[Xonic]

... Jeder andere Prof. haette da vermutlich einfach eine 0815 Aufgabenstellung mit gegebener Funktion und Nebenbedingung gegeben.
tja... die gitti hats da leider lieber a spur giftiger... :/

[chrisM]

ich finds "witzig" dass die beispiele der musterpruefung recht machbar sind und die anderen hingegen eher .. schwer- umoeglich

[Sepp13]

naja da hat er sich ws noch nicht so getraut weil es war ja die erste prüfung oder

[a9bejo]

naja da hat er sich ws noch nicht so getraut weil es war ja die erste prüfung oder

Nein. Die Musterpruefung hat er vor der ersten Pruefung online gestellt. Die sollte wohl als Hinweis dafuer dienen, wie wohl die Fragen bei seiner Pruefung aussehen koennten. Also eigentlich richtig gemein, dass er die Musterpruefung leichter gemacht hat als die richtigen Tests.

Seitdem sind die Pruefungen mit jedem mal etwas schwieriger geworden finde ich.

Vielleicht sollte man ihm einfach mal eine Email schreiben und ihm das sagen. Vermutlich ist ihm das gar nicht bewusst, und er versucht nur einen moeglichst abwechlsungsreichen Pruefungsordner fuer das SS09 zu erstellen.

[Newbie0815]

ich hätte eine kurze frage zum bsp 1 von der prüfung vom 25. Jänner 2008

diese rekursion würde ich mit a(n) = a(n-1) + q^n*n lösen, so, so weit so gut, aber aber wie muss ich jetzt mit der ansatzmethode da vorgehen?

kann das dann so stimmen A0*q^n*n ?
weil irgendwo oben hat man gesagt A0² wäre blödsinn ... oder sollte ich doch A0*n*A1*q^n als ansatz nehmen? ... sieht aber komisch aus :P

EDIT: und wie ists eigentlich wenn jetzt die partikuläre lösung n² ist ... muss man dann so ansetzen: A0 + A1n + A2n², oder ist das falsch und es reicht A0n² ??

mfg

[Xonic]

also der ansatz müsste folgender sein:

(A0 + A1n)nq^n

ich kanns aber irgendwie nur lösen, wenn A0 = 0, weiß aber nicht ob man das so annehmen darf

[Newbie0815]

hmm aber das n kannst du weglassen also nur (A0 + A1n)*q^n

hätte aber eine andere frage noch, da ich jetzt irgendwie verwirrt bin:
und wie ists eigentlich wenn jetzt die partikuläre lösung n² ist ... muss man dann so ansetzen: A0 + A1n + A2n², oder ist das falsch und es reicht An² ?? (weil im buch steht ja irgendwas wenn n^k dann folgt A0+A1n + ... + An*n^k ....)

[Xonic]

hmm aber das n kannst du weglassen also nur (A0 + A1n)*q^n
sry, vertippt.

hätte aber eine andere frage noch, da ich jetzt irgendwie verwirrt bin:
und wie ists eigentlich wenn jetzt die partikuläre lösung n² ist ... muss man dann so ansetzen: A0 + A1n + A2n², oder ist das falsch und es reicht An² ?? (weil im buch steht ja irgendwas wenn n^k dann folgt A0+A1n + ... + An*n^k ....)
schon so wies im buch steht, also A0 + A1n + A2n^2