Letzte Übung

[Crow]

Hi,

gehen eigentlich noch alle in die letzte Übung oder lassen das schon so manche sausen.

Mich wundert nur das noch nichts diskutiert wurde über die Bspe. Naja, ich werd schon noch hingehen, da ich denke das 4 Leute sowieso noch drankommen und er gesagt hat, dass es zum Schluss nicht mehr so streng sein wird.

Ich spekuliere mit allen fünf. :D Obwohl ich mir die Bspe. erst heute nacht anschauen werde.

...

[mauerbluemchen]

Hm.... redest du vom Eigenthaler? Hab ich da irgendwas überhört? Dass es lockerer sein soll, ist mir neu. Aber er ist ja eigentlich das ganze Semester wirklich sehr gmiatlich gewesen :)

Aber ich denk schon, dass ich hingehen werd. Er hat ja wegen der Noten noch überhaupt nix gesagt. Und es ist ja auch nicht so wie in anderen Gruppen, dass die letzte Übung nicht zählt, oder dass man sich eine aussuchen kann, die dann gestrichen wird, oder?

[Crow]

Doch, er sagte in der letzten Übung sind "wir nicht mehr so streng". Aber egal.

Ich denke aber dass es für die locker wird, die schon 2mal dran waren. Es gibt nämlich noch 4 Personen die erst einmal an der Tafel waren. Die werden mal sicher dran sein.

P.S. Hast du schon was gerechnet? Irgendwie blick ich mich noch nicht durch mit den Grenzwerten.

[mauerbluemchen]

Nein, hab leider auch noch nix gemacht. Hab das aber bis morgen in der Früh schon noch vor. Ich hoffe nur inständig, dass die Beispiele nicht über mein Gymnasium-Grenzwertwissen hinausgehen. Ich war nämlich blöderweise jetzt wegen Eprog schon lange nimmer in der Vorlesung :(

[mauerbluemchen]

Und vergiss nicht, die 4, die noch ausständig sind, werden wahrscheinlich, so glaube ich, auch nimmer auftauchen. Also würd ich nicht drauf spekulieren.

gn8

[Sensei]

hab 4 von den beispielen. mehr dazu heut nachmittag.
jetzt gehts erst mal in die vorlesung *schnarch*

[Shine]

naja wenn i einer von den vieren wär würd ich aber schon hingehen, a prüfung beim eigenthaler kann net so schlecht sein, wie wenn ma's gar net macht, weil wenn ma net kummt bekommt ma sicha sowas wie a minus...
i man wenn donn des erste moi a net guat woa.. und beispiele net so bsonders vü san, donn kennt's am bissal einescheißen oda??
oiso i werd mi heit nu hinsetzen...
mfg

[Sensei]

also ich hab beim eigenthaler immer das gefühl, er trägt sich nur ein, ob man schon mal dran war und nicht, wie gut/schlecht man war...

[Crow]

Bsp. 255:

Also was würdet ihr sagen? Ich denke das ist eine Nullfolge oder -> und daher divergent?

Ein so ähnliches Bsp. wird auf Seite 14 im Buch gerechnet:

Daher müsste das auch so gehen oder?

Wir dividieren Zähler und Nenner durch die höchste auftretende Potenz n^3 und erhalten:

a<n>=[3*(1/n)-5*(1/n)^2+7*(1/n)^3]/[3-5*(1/n)^2+7*(1/n)^3]

Daher ist

lim a<n>=(0+0+0)/(3+0+0)=0

So das wärs. Ich weiss ja nicht ob das stimmt, aber so stehts zumindest im Buch auf Seite 14. ;-)

Könnt ihr mir da zustimmen?

[buechsengustel]

ich stimme zu, dass das beispiel auf seite 14 im buch steht.
ich stimme auch zu, dass sich der limes der folge wie von dir beschrieben errechnet.
ich stimme jedoch nicht zu, dass die folge damit divergent ist: sie konvergiert nämlich gegen den grenzwert 0 !!
:D:D:D:D:D:D:D:D:D:D

[Crow]

Ich dachte schon das dass eine Nullfolge ist... :hewa: (aber das heisst ja nichts :-) )

Aber jetzt egal. Hauptsache irgendwas... ;-) Hast du auch andere Bspe. Vielleicht könnte sich auch noch jemand anderer melden oder so.

[buechsengustel]

ähhm... kleiner tip:
nullfolge heißt: grenzwert=limes=0, was wiederum heißt: die folge konvergiert gegen 0, ist also konvergent!

[buechsengustel]

das beispiel 252 ist im buch auf seite 7

[Crow]

O.k. das habe ich schon gesehen. Ich versuchs mal umzulegen, obwohls wahrscheinlich nicht funktionieren wird bei mir:

Die Folge <an> sei rekursiv definiert durch:

a0=2

an+1=Wurzel(an+1) für alle n grösser gleich 0

i) stark monoton wachsend: Beweis durch vollständige Induktion nach n:

n=2: a0=2 < a1=3

Sei nun an<an+1

Dann ist auch an+1 < a(n+1)+1

und damit Wurzel(an+1) < Wurzel(a(n+1)+1)

...

naja ich sollt mir das nochmal anschauen

:devil:


Hat vielleicht schon irgendwer andere Bspe., die er erklären könnte?

[Crow]

O.k. ich denke ich habs jetzt. Aber eines verstehe ich nicht.

Wie kommt man von a=Wurzel(a+1)

auf a= [1+-Wurzel(5)]/2 ???

und ist dann das der Grenzwert?

[Crow]

HAALLLLOOOO??? Hat schon irgendwer irgendwas??? Da tut sich ja heute garnichts. Geht denn morgen echt keine mehr.

@Sensei ich dachte du gibts deine Kommentare zu den Beispielen ab, da du ja schon 4 hast.
Ich komme einfach nicht weiter und brauche morgen aber 5! Beispiele.:p

[ibins]

hi ich komm morgen auch, beginn aber gerade erst nachzuforschen, welche Bsp wir überhaupt rechnen müssen...
zwar war ich schon 3* dran, aber ich schau, was sich machen lässt...

wenn ich was hab, post ich's

lg
ibins

[Crow]

Danke endlich auch jemand der die Beispiele rechnet. Ich komm nämlich nicht wirklich weiter :cool: Aber vielleicht bekommen wir mehr hin wenn mehr gepostet, oder so wird.

(Ich dachte schon da meldet sich keiner mehr. :scheity )

[Shine]

ok ich hab 252 so:

also mal annahme monoton wachsend d.h.
an > a(n+1) für alle n aus den natürlichen Zahlen

Induktion
Anfang
a0 > a1
2 > wurzel(2+1) = wurzel 3 das ist irgendwas 1,7 oda so....
also stimmt

Induktionsschluss:
an > a(n+1)

So wir wissen ja a(n+1) = wurzel(an +1)
Das können wir quadrieren ->
a(n+1)^2 = an +1 umformen ->
an = a(n+1)^2-1
in die Ungleichung einsetzen

a(n+1)^2 - 1 > a(n+1)
a(n+1)^2-a(n+1) - 1 > 0

a(n+1) = 1/2 +- wurzel(5)/2
da ist positive Lösung 1,61 irgendwas...
das heißt dass die ungleichung für alle n >= 2 gilt

Beschränktheit:
obere Schranke = 2 weil ja monoton fallend und daher kein größerer wert als der erste auftreten kann..
untere Schranke ist sicher 1:
es gilt dann
2 >= a0 >= a(n+1) > 1
a(n+1) > 1 ist zu zeigen:
wurzel(an+1) > 1
Induktionsanfang:
wurzel(3) > 1 OK
Induktionsschluss
wurzel(a(n+1) +1) > 1
quadrieren mit a(n+1)+1 >0
a(n+1) +1 > 1
a(n+1) > 0 -> beschränkt

aber grenzwert??
keine ahnung wie man den hier berechnet..
kann zwar folgenglieder ausrechnen und die gehen dann gegen 1,61803... hm...naja warscheinlich ist das eh der grenzwert also 1/2 + wurzel(5)/2
mfg

[Crow]

Ich nehm mal an das das genauso wie im Baron Buch ist, aber wie zum Teufel kommt man afu das [1+-Wurzel(5)]/2?

[Shine]

zu 255 und 258:
da hab ich auch durch die höchste potenz von n gekürzt und erhalt 2 nullfolgen.., weil jeweils der zähler gegen null geht..

zu 262
da weiß ich net so recht
i glaub wird auch eine nullfolge sein
aber wenn ma da durchdividiert kommt ma auf 0/0
das ist ja net definiert???? oda??
und beim letzten
hab ich als bn die folge 1/(n+1)^2
und als cn 1/n
konvergiert jeweils gegen null ergo macht das auch an..
ma muss allerdings jeweils
bn <= an und
an <= cn beweisen
mfg

[Crow]

Also 255 und 258 sind klar.

Bei Bsp. 262 weiss ich nicht wies weitergeht.

252 geht so halbwegs.

270 hab ich auch noch nichts.

Ich werd aber morgen trotzdem mal 5 riskieren. Die Nacht is ja noch lange. ;-)

[Sensei]

255, 258: hat eh jeder, oder? Konvergieren beide gegen 0 (immer höchste potenz des nenners rausheben unten und oben--> bleiben nur 0-Folgen übrig)

262:
da kann man unten den bruch auflösen auf 1/ 3.sqrt(n) --> Doppelbruch --> das was ganz unten ist nach oben --> (sqrt(n+2) - sqrt(n))*3.sqrt(n) --> diese Folge DIVERGIERT d.h. sie geht gegen unendlich (immer wenn im nenner 0 rauskommt, im zähler aber noch was steht, ist das so).

270:
kleinere folge: <0> d.h. 0-Folge --> konvergiert gegen 0
größere folge: 1/n --> konvergiert auch gegen 0
--> auch die folge aus der angabe konvergiert gegen 0 (sandwichprinzip)

252: steht ja oben schon ausführlich erklärt und außerdem auch im baron-buch.

hoffe ihr konntets was anfangen damit, is eigtl. alles nicht besonders schwer. wer fragen hat: bitte posten!

[Crow]

Hi, danke erstmal Sensei, ich versteh aber das mit dem Doppelbruch nicht. Ich seh da keinen Doppelbruch.

@Shine: Gehört bei 252 nicht bei der Annahme an<a(n+1)? Im Buch stehts doch auch so...

[Sensei]

naja also nochmal:

bei bsp 262 steht:

blalalal / 3.sqrt(1/n)

was sich vereinfachen lässt, da man die wurzel aus einem bruch aufteilen kann, d.h.
3.sqrt(1) / 3.sqrt(n)
da 3.sqrt(1) aber 1 ist steht jetzt also der vereinfachte nenner folgendermaßen da:

1 / 3.sqrt(n)

zusammen mit zähler also:

blabla / (1 / 3.sqrt(n)) ... und das ist ein ganz normaler schöner doppelbruch (kannst das oben noch durch 1 teilen, dann sieht mans noch schöner:

(blablabl / 1 ) / ( 1 / 3.sqrt(n))

und jetzt diesen doppelbruch auflösen: innenglied mal innenglied nach unten, außenglied mal außenglied nach oben

--> blablabla * 3.sqrt(n) / 1
das durch eins kann ich weglassen, mit dem echten zeug für blablabla eingesetzt:

(sqrt(n+2) - sqrt(n))*3.sqrt(n)

und das geht gegen unendlich, d.h. es konvergiert uneigentlich

[ibins]

immer wenn im nenner 0 rauskommt, im zähler aber noch was steht, ist das so


???
von welchem Bruch sprichst du? Hast du den nicht vorher aufgelöst?

Das check ich nicht

ibins

[Sensei]

also: bruch ja, hat sich aufgelöst, aber wenn dann noch ein ausdruck mit lauter n dasteht, konvergiert das offensichtlich uneigentlich gegen unendlich. da kann man die noch sovielte wurzel draus ziehen.
das n muss nur genügend groß sein und schon geht die folge gegen unendlich.

überprüfen: tippts mal den ganzen ausdruck aus der angabe in den taschenrechner und setzts für n 1000000 odr sowas ein... da kommt dann immer ziemlich genau der grenzwert raus, auch wenn der mal 3 oder 5/3 oder sonst was is...!

[ibins]

hm, da kommt 0 durch unendlich raus, das ist doch nicht definiert???

ich wäre eher für Grenzwert 0 zu haben, als für unendlich bzw divergieren...

hab aber keinen blassen Schimmer von der ganzen Sache:hewa:

ibins

[Shine]

zu 252:
@crow.. die folge ist ja monoton fallend, also muss ja das nächste immer kleiner sein ergo muss
an > a(n+1) sein...
an < a(n+1) ist doch (wie man in der schule lernte) streng monoton steigend.. <= bzw. >= ist immer ohne streng, i glaub der baron nennt das stark.. aba i weiß net hab ja das buch net

[Shine]

262:
lösung weiß i zwar nu net, aber durch umformen komm ich auf
lim (3.wurzel(n) * wurzel(n+2) - wurzel(n))
laut limesrechenregeln ist das
lim (3.wurzel(n)) * lim (wurzel(n+2) - wurzel(n))
und weiter mit den limesrechenregeln:
lim 3.wurzel(n) * (lim wurzel(n+2) - lim wurzel(n))

lim 3.wurzel(n) -> unendlich
lim wurzel(n+2) -> unendlich
lim wurzel(n) -> unendlich

also haben wir
unendlich * (unendlich - unendlich)
unendlich * 0 => nicht definiert ???

[Sensei]

nö.... is sicher unendlich!

[Shine]

ehm sorry, aber i hab's grad im excel getestet es is definitv 0

[Crow]

HI,

und was sag ich dann wenn ich an der Tafel steh und hab den letzten Ausdruck hingeschrieben:

so ja,... und das ist jetzt unendlich.

Wie sollte man das am besten sagen? Ich meine wie erklärt man das dem Eigenthaler?

[Crow]

Also irgendwie hänge ich bei 252)

das ist doch auch stark monoton wachsend (wie im Buch) wenn ich in die Wurzel(an+1) einsetze kommt mir doch eine immer grössere Zahl raus. Oder denke ich da irgendwie falsch.

[Crow]

@Shine aha in der Schule nicht gut aufgepasst, deshalb hatte ich ja gefragt. Du hast bei deinem Bsp geschrieben die Folge ist monoton wachsend und schreibst a>an+1 was ja nicht gepasst hatte.

[Shine]

@crow..
wenn a0 = 2
und a(n+1) = wurzel(an+1) ist, dann ist
a1 = wurzel(2+1) = wurzel(3) das ist kleiner als 2 hab ich eh schon gepostet
a2 = wurzel(wurzel(3) + 1) das ist wieder kleiner..
kann auch gern folgenglieder angeben:
<2; 1,732; 1,653; 1,629; 1,621; 1,619; 1,618; 1,61813; 1,61806; ....>
sind ab a1 lauter gerundete (oder abgeschnittene werte) soll eh nur dazu dienen zu zeichen, dass es fällt und net steigt..

und zu 262 is ma jetzt eine eingebung gekommen:
also wir hatten ja an in an = (wurzel(n+2) - wurzel(n))* 3.wurzel(n) umgeformt...
Hier kann man sicher mal ausmultiplizieren:
wurzel(n+2)*3.wurzel(n) - wurzel(n)*3.wurzel(n)
davon bilden wir den limes (gleichzeitig anwendung der limes-Rechenregeln
lim (wurzel(n+2) * 3.wurzel(n)) - lim (wurzel(n) * 3.wurzel(n))
wurzel(n+2) und auch wurzel(n) konvergieren gegn unendlich
3.wurzeln(n) auch, weil ja n gegen unendlich geht und damit auch die wurzel....
ergibt:
unendlich*unendlich - unendlich * unendlich
unendlich * unendlich ist ja unendlich
also
unendlich - unendlich = 0
was sagt ihr dazu??
weiß nur noch nicht wie ich den limes bei 252 mit (1+-wurzel(5))/2 = goldene Zahl phi
argumentieren soll...hm *ueberleg*

[Shine]

@ crow upsal. da hab i mi bissal vertan.. hab natürlich fallend gemeint..

[mauerbluemchen]

Wieso darf ich denn nicht einfach durch die höchste Potenz durchdividieren? Hab das nämlich genauso wie der Sensei gelöst ...

[mauerbluemchen]

@ibins: Also ich glaube, wenn im Nenner 0 rauskommt heißt das auch automatisch, dass es keinen Grenzwert gibt und damit muss das ganze divergieren.

[Sensei]

jap, es divergiert meiner Meinung nach. dass es gegen unendlich geht - da bin ich mir nicht mehr so sicher *vergebtmir* ;) aber im Nenner kommt auf jeden Fall eine 0-Folge raus. soviel is sicher.
Also meiner Meinung nach DIVERGENT.

[Sensei]

qmauerblümchen: durch die höchste potenz zu dividieren is da aber glaub ich nicht möglich, weil ja nicht immer das n für sich dasteht, sondern es z.b. mit dem 2er 'verbunden' ist. Da steht ja sqrt(n+2) ... und das lässt sich nun mal nicht durch eine potenz von n dividieren...!

[lEn00x]

zu Bsp. 262:

Wenn man in Maple hohe Werte einsetze, dann sieht man, das die Folge zu 0 konvergiert.

Aber Sensei hat schon recht; im Nenner kommt eine Nullfolge raus und das bedeutet meiner Meinung nach dass sie divergent ist - also sehr eigenartig :lol:

[ibins]

also Mathematica behauptet die Folge ist nicht divergent, sonder geht gegen 0!!!

ibins

edit:
@ shine
deine Eingebung klingt erleuchtend.... ich werd auch so argumentieren *ideeklau*
;)

[Shine]

divergent heißt ja gegen + oder - unendlich oder??
und das kommt nicht raus..
wenn man das ganze als quotient zweier funktionen sieht, dann hat man
wurzel(n+2) - wurzel(n) als f(n)
und 3.wurzel(1/n) als g(n)

lim (wurzel(n+2) - wurzel(n)) kann man schreiben als
lim wurzel(n+2) - lim wurzel(n)
das heißt also unendlich - unendlich ist 0
und lim 3.wurzel(1/n) muss genauso null sein weil ja 1/n gegen 0 geht
also erhält man den ausdruck 0/0 und der ist definitiv nicht definiert
in der schule haben wir da gelernt, dass man da die regel von de l'hospital anwendet
also lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)
damit komm i aber auch net weiter
bin eher für die von mir oben vorgeschlagene lösung

lim (wurzel(n+2) - wurzel(n))*3.wurzel(n)
-> ausmultiplizieren, dann erhält man eh 0
und das passt ja laut excel, mathematica mapla.. hey ihr studiert's an der tu vertraut's in die technik

außerdem möcht ich noch eines anführen. hat man zum beispiel den ausdruck unendlich * 0
oder 0/0 dann muss man beachten, dass ja entweder die nennefolge oder die zählerfolge schneller gegen 0 konvergiert und das macht's dann aus.
is der zähler schneller (bei 0/0) dann geht's gegen 0
ist der nennen schneller dann geht's gegen unendlich weil ja die zahl schneller sehr klein wird.
bei unendlich * 0 is es sehr ähnlich. wenn die Folge nur sehr langsam gegen unendlich geht, aber die zweite folge sehr schnell gegen null, wird gesamt eine Nullfolge herauskommen..
das ist natürlich kein beweis, aber eine überlegung, die mir ziemlcih einleuchtet.
mfg Shine

[biesi]

sagts mal leute, wie kommt's ihr eigentlich drauf, das ihr unendlich minus unendlich berechnen könnt?
das ist auch ein unbestimmter ausdruck!

Siehe z.B. http://216.239.33.100/search?q=cache:aWzpt1reHV0C:www.zahlentheorie.de/forum/messages/448.html+%22unendlich+minus+unendlich%22&hl=en&ie=UTF-8

[biesi]

ahja, nochwas, weil hier jemand nach divergenz gefragt hat:
Eine Folge ist divergent wenn sie keinen (endlichen) Grenzwert hat. Das kann der Fall sein wenn sie gegen plus oder minus unendlich geht, aber auch wenn sie mehr als einen Häufungspunkt hat. Im ersten Fall wird so eine Folge auch als uneigentlich konvergent (wenn ich mich richtig erinnere) bezeichnet.