2.21

[Newbie0815]

hat hier irgendjemand eine idee?

mein ansatz wäre:

also ich würd sagen, die allg. W, dass man irgendeine zahl zieht ist 1/n und für ein zahlenpaar 1/n * 1/n = 1/n²

also die W, dass {X < Y }:

ich würde das in eine summenfunktion reinstecken, also die Wahrscheinlichkeit von x1,x2,x3,x4, ... bis Y-1 (xi enhalten in X) aufsummieren und dann das ganze 1-(W(von x1 bis xy-1))

bei {X <= Y}:

genau das gleiche nur bis Y

bei{X = Y}

da würde ich sagen das ist einfach: 1/n * 1/n (jetzt einfach so gesagt, ohne viel überlegung - aber das ist mit ziemlicher sicherheit falsch :P)

Naja, hoffe es kann mir jemand helfen ...

MFG

[M@dM@xOne]

also c ist glaub ich n * 1/n *1/n= 1/n => ist mehr als W(gleich|gezogen) zu sehen.
zum rest mach ich mir morgen weiter gedanken.

[M@dM@xOne]

hat sich sonst noch wer Gedanken dazu gemacht?

[mpsp]

bei c.) würd ich auch sagen 1/n, denn im Prinzip geht es ja darum, wie hoch die wahrscheinlichkeit ist eine best. Zahl zu ziehen, bei den anderen bin ich auch noch beim überlegen...

[M@dM@xOne]

bei b hätte ich sowas gesagt wie: (1/n)*( n/2) also 1/2 aber das muss noch verfeinert werden - ähnlich muss es ja auch bei c sein nur das es nicht n/2 sondern (n+1)/2 sein müsste.

[M@dM@xOne]

ok, gehen wir das ganze halt im Detail durch:

die Wahrscheinlichkeit als W(X<Y|X)=W(X<Y)*W(X)
W(X) müsste ja 1/n sein

die für W(X<Y) sowas wie die Summe von i=0 bis n-1(i/n)

[mpsp]

ok, ich hab mir folgendes überlegt:
für Ziehen mit Zurücklegen:
a.) x<y:

z.B. n=4
y=1 ... x={}
y=2 ... x={1}
y=3 ... x={1,2}
y=4 ... x={1,2,3}

=> günstige=6; mögliche=4^2=16
W=6/16

man sieht das es in jeder Zeile x-1 günstige Möglichkeiten gibt
daraus folgt:

W = \frac{1}{n^{2}} \cdot \sum_{i=1}^{n-1} i = \frac{n-1}{2n}


b.) x<=y:
jetzt hat man in jeder Zeile einen zusätzlichen günstigen Wert, also lässt man die Summe bis n gehen:

W = \frac{1}{n^{2}} \cdot \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n+1}{2n}

c.) x=y
wie oben: 1/n


Für Ziehen ohne Zurücklegen:
a.) x<y:
wie oben a.)

b.) x<=y:
müsste gleich sein mit x<y, da ja x nicht mehr gleich y sein kann

c.) x=y:
unmöglich, also 0

kommt mir aber irgendwie fast zu einfach vor, also meldet euch ob ich einen Fehler gemacht hab :rolleyes:

[M@dM@xOne]

gut, für a komm ich ja auf das gleiche wobei ich nicht weiß, ob es da nicht auch (n über 1)*(1/n)*Summe i=0 bis n-1(i/n) sein könnte, was gesamt W=(n-1)/2n ergibt.

edit: beide formen richtig. gedankenfehler meinerseits.

[M@dM@xOne]

daher ist b (n+1)/2n
und ohne Zurücklegen überleg ich mir mal kurz

edit: a wäre dann ja (n über 1) 1/n * Summe von i =0 bis n-1(i/(n-1))
also n* 1/n * (n-1)/(2*(n-1)) ergibt also 1/2

b sollte (n über 1)* 1/n * Summe von i =1 bis n(i/(n-1))=n-1/2n

[mpsp]

naja, ich komme mit meiner formel aber auch auf das ergebnis aus meinem beispiel. aber mir ist grad eingefallen, dass man die summen noch vereinfachen kann. z.b. ist summe(i=1 bis n) n = n*(n+1)/2.
damit kommt man bei b auf (n+1)/2n

und das (n über 1) * 1/n kann man glaub ich weglassen, denn das sollte eigentlich 1 sein (außerdem hat man nicht wie im letzten bsp. eine teilmenge in der man unterschiedliche elemente auswählen kann, sonder immer nur eines, deswegen braucht man das nicht)
und ob i bei 0 oder 1 anfängt ist auch egal, denn man addiert sonst nur + 0

[M@dM@xOne]

ps: n über 1 = n und nicht 1

[mpsp]

ok, hab jetzt nochmal nachgelesen:

\sum_{i=1}^{n-1} i = \frac{n\cdot(n-1)}{2}

\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n\cdot(n+1)}{2}

d.h. bei a.) bekommen wir schonmal dasselbe raus ;)

[mpsp]

deine Formel wäre aber zB 1/2n bei a.

ps: n über 1 = n und nicht 1

ich komme bei meiner formel bei a.) auf (1+2+3)/16=6/16

und ich meinte ja auch (n über 1) * 1/n =1 und nicht (n über 1) = 1

[M@dM@xOne]

mein Fehler

[M@dM@xOne]

ich komme bei meiner formel bei a.) auf (1+2+3)/16=6/16

und ich meinte ja auch (n über 1) * 1/n =1 und nicht (n über 1) = 1
naja, um die Uhrzeit ist das alles schon zuviel.

also a und b mit zurücklegen können wir jetzt glaub ich als richtig erachten, ohne bin ich mir nicht sicher.

[mpsp]

stimmt :), drum werd ich auch langsam ins bett gehn.
morgen ist ja schließlich auch noch ein Tag ;)
dann gute Nacht

[M@dM@xOne]

gute Nacht! ich werd mir noch kurz Bsp. 15 zu Gemüte führe..

[wasaa]

@mpsp bei deiner erklaereung:
z.B. n=4
x=1 ... {}
x=2 ... {1}
x=3 ... {1,2}
x=4 ... {1,2,3}

sollte es da nicht ueberall y= heissen?
denn wenn ich x=2 habe haette ich ja in der loesungsmenge {3,4} denn es ist ja gesucht x < y alos muessten doch in den loesungen die groesseren und nicht die klieneren stehen, oder verstehe ich das angenommen bp falsch? :)
ich meine es kommt auf selbe raus, nur formhalber ;)

[mpsp]

@mpsp bei deiner erklaereung:
z.B. n=4
x=1 ... {}
x=2 ... {1}
x=3 ... {1,2}
x=4 ... {1,2,3}

sollte es da nicht ueberall y= heissen?
denn wenn ich x=2 habe haette ich ja in der loesungsmenge {3,4} denn es ist ja gesucht x < y alos muessten doch in den loesungen die groesseren und nicht die klieneren stehen, oder verstehe ich das angenommen bp falsch? :)
ich meine es kommt auf selbe raus, nur formhalber ;)

stimmt, du hast natürlich recht, ich werde das gleich mal ändern :rolleyes:

[M@dM@xOne]

auch wieder munter :D

[mpsp]

klar, genau richtig zur übung ;)

[M@dM@xOne]

bei a ohne Zurücklegen war es so wie ich vermutet habe 1/2

[HeLeni]

meine ergebnisse für OHNE zurücklegen

a) 1 / 2
b) 1 / 2
c) 0

[Mickle]

Ich habe mich so überlegt (für den Fall mit Zurücklegen):

W(X<Y) = \frac{W(X=1) \cdot W(1<Y) + W(X=2) \cdot W(2<Y) + ... + W(X=n) \cdot W(n<Y)}{n}

= \frac{\frac{1}{n} \cdot \frac{n-1}{n} + \frac{1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} + ... + \frac{1}{n} \cdot \frac{n-n}{n}}{n}

=\sum_{i=1}^n \frac{n-i}{n^3}

und ähnlicherweise
W(X \leq Y)=\sum_{i=1}^n \frac{n-i+1}{n^3}

und endlich
W(X=Y)=\frac{1}{n^2}

Was meint ihr? Solls so funktionieren oder mache ich irgendwelche schweren Fehler?

EDIT: Die Ergebnisse sind falsch. Siehe unten.

[HeLeni]

///

[M@dM@xOne]

da er geschrieben hat mit zurücklegen, wirds wohl doch gehen. ;)

[Mickle]

Aha, ich habe doch einen schweren Fehler gemacht! Nämlich, ich sollte die Wahrscheinlichkeiten aufsummieren aber nicht dann wieder durch n dividieren. Damit komme ich auf das gleiche wie mpsp:

W(X<Y) = W(X=1) \cdot W(1<Y) + W(X=2) \cdot W(2<Y) + ... + W(X=n) \cdot W(n<Y)

= \frac{1}{n} \cdot \frac{n-1}{n} + \frac{1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} + ... + \frac{1}{n} \cdot \frac{n-n}{n}

=\sum_{i=1}^n \frac{n-i}{n^2} = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n-1} i = \frac{n-1}{2n}

W(X \leq Y)=\sum_{i=1}^n \frac{n-i+1}{n^2} = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n i = \frac{n+1}{2n}

W(X=Y)=\frac{1}{n}

Ich habe es auch in R getestet und bestätigt.

[Mickle]

///

[Mickle]

OK, ich bin auf die gleichen Ergebnisse wie HeLeni für OHNE Zurücklegen gekommen, ganz ähnlich zum Fall mit Zurücklegen:

W(X<Y) = W(X=1) \cdot W(1<Y) + W(X=2) \cdot W(2<Y) + ... + W(X=n) \cdot W(n<Y)

= \frac{1}{n} \cdot \frac{n-1}{n-1} + \frac{1}{n} \cdot \frac{n-2}{n-1} + ... + \frac{1}{n} \cdot \frac{n-n}{n-1}

=\sum_{i=1}^n \frac{n-i}{n(n-1)} = \frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^{n-1} i = \frac{1}{n(n-1)} \cdot \frac{n(n-1)}{2} = \frac{1}{2}

Genau das gleiche gilt für {X <= Y}, da Y nie den Wert von X annehmen kann und damit die gleiche Wahrscheinlichkeit wie oben hat.

Und W(X==Y) ist selbstverständlich 0, das ist praktisch die Definition von "ohne Zurücklegen".