bsp. 2.15

[Jacko]

Ein neues Computerprogramm besteht aus zwei Modulen. Das erste Modul enthält mit Wahrscheinlichkeit 0.2 einen Fehler. Das zweite Modul ist komplexer und enthält mit Wahrscheinlichkeit 0.4 einen Fehler, unabhängig vom ersten Modul. Ein Fehler im ersten Modul allein führt mit Wahrscheinlichkeit 0.5 zu einem Absturz; für das zweite Modul beträgt die entsprechende Wahrscheinlichkeit 0.8. Fehler in beiden Modulen führen mit Wahrscheinlichkeit 0.9 zum Absturz. Angenommen, das Programm stürzt ab. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthalten beide Module Fehler?


Mein Ansatz:

A…Fehler in Modul 1
B…Fehler in Modul 2
G…Gesamtfehler der zu Absturz führt
^… Durchschnitt
W(A) = 0,2
W(B) = 0,4
W(G|A) = 0,5
W(G|B) = 0,8
W(G|A^B) = 0,9


weiter komm ich nicht!
was sagt ihr dazu?


lg jacko

[SDDS]

ja stimm ich zu :).
nur statt vereinigung würd ich durchschnitt nehmen (A UND B fehlerhaft).

gefragt ist jetzt: (n steht für durchschnitt, ^c für komplement)

Wahscheinlichkeit für beide Module fehlerhaft unter der bedingung eines Absturzes (Bayesche Formel)
W(AnB|G) = W(AnB)*W(G|AnB) / ( W(AnB)*W(G|AnB) + W((AnB)^c)*W(G|(AnB)^c) )

De'Morgan:
(AnB)^c) = (A^c u B^c) ... so wie weiter?

[Jacko]

ja stimm ich zu :).
nur statt vereinigung würd ich durchschnitt nehmen (A UND B fehlerhaft).

gefragt ist jetzt: (n steht für durchschnitt, ^c für komplement)

Wahscheinlichkeit für beide Module fehlerhaft unter der bedingung eines Absturzes (Bayesche Formel)
W(AnB|G) = W(AnB)*W(G|AnB) / ( W(AnB)*W(G|AnB) + W((AnB)^c)*W(G|(AnB)^c) )

De'Morgan:
(AnB)^c) = (A^c u B^c) ... so wie weiter?

das mit der vereinigung stimmt natürlich - sorry verschrieben!

naja jetzt müssen wir wohl einfach die werte einsetzen!
soweit die werte die du in die bayes'sche formel eingesetzt hast stimmen!
könntest du das mal etwas näher erklären warum du das so gemacht hast?
Die bayes'sche formel kenn ich schon aber wie du da jetzt genau draufgekommen bist! damit hab ich immer probleme!

beim werte einsetzen müsste man sich das halt noch genauer überlegen:
nehm mal an
A^c = 0,8
B^c = 0,6
...

[SDDS]

ja wir haben alle werte für die Formel bis auf

W(AnB)
W(AnB)^c)
W(G|(AnB)^c)

entweder ist das jetzt voll einfach und ich sehs nicht oder man muss das irgendwie mit dem Additionstheorem oder so herleiten... ne Ahnung?

zur bayes'sche Formel:
Hab da einfach eingesetzt... geht immer gleich. ereignisse einsetzen.
zb.: bei den bspen 13,14,15 immer für 2 ereignisse.
W(A|G) = W(A)*W(G|A) / ( W(A)*W(G|A) + W((A)^c)*W(G|(A)^c) )

(Zähler: Multip.theorem; Nenner: Satz v.d.vollst. Wahrsch)

[exkalation]

Sollte es nicht heißen:

W(A) = 0,2
W(B) = 0,4
W(G|A n B^c) = 0,5
W(G|B n A^c) = 0,8
W(G|A n B) = 0,9

Denn W(G|A) = 0,5 allein schließt ja den Fall nicht aus, in dem B auch fehlerhaft ist. In der Angabe steht aber, "die Warsch. dass das System abstürzt wenn NUR A Fehler enthält ist 0,5". Und meiner Meinung "NUR A" heißt "A n B^c". Oder ist das egal?

[Step2Web]

mein Ergebnis wär 14,63%

wobei meine überlegung folgende war:

Modul A: Fehler & Absturz: 0,2 * 0,5
Modul B: - " - : 0,4*0,8
Modul A&B: -" -: 0,2 * 0,4 * 0,9

Jetzt die Bayes'sche Formel:

W(Hj|A) = (W(Hj)*W(A|Hj))
(Summe <k=1 bis n> W(Hk)*W(A|Hk))

Beispieltechnisch heißt das für uns:

W(ModulA&B|Absturz) =
(0,2*0,4*0,9)
((0,2*0,5)+(0,4*0,8)+(0,2*0,4*0,9))
=0,1463

--> 14,63%

Ist das ein kompletter Pfusch oder findet jemand ein Fünkchen Wahrheit darin. :)

lg

[SDDS]

Sollte es nicht heißen:

W(A) = 0,2
W(B) = 0,4
W(G|A n B^c) = 0,5
W(G|B n A^c) = 0,8
W(G|A n B) = 0,9

Denn W(G|A) = 0,5 allein schließt ja den Fall nicht aus, in dem B auch fehlerhaft ist. In der Angabe steht aber, "die Warsch. dass das System abstürzt wenn NUR A Fehler enthält ist 0,5". Und meiner Meinung "NUR A" heißt "A n B^c". Oder ist das egal?


ne das verkomplizierts nur.

wir haben ja W(G|A n B) gegeben ... also das beide module fehler haben.
dann mussts beim W(G|A) = 0,5 nicht auch noch ausschließen das B fehlerhaft ist. weil wenns wär wärs ja 0,9 ;)

[Jacko]

mein Ergebnis wär 14,63%

wobei meine überlegung folgende war:

Modul A: Fehler & Absturz: 0,2 * 0,5
Modul B: - " - : 0,4*0,8
Modul A&B: -" -: 0,2 * 0,4 * 0,9

Jetzt die Bayes'sche Formel:

W(Hj|A) = (W(Hj)*W(A|Hj))
(Summe <k=1 bis n> W(Hk)*W(A|Hk))

Beispieltechnisch heißt das für uns:

W(ModulA&B|Absturz) =
(0,2*0,4*0,9)
((0,2*0,5)+(0,4*0,8)+(0,2*0,4*0,9))
=0,1463

--> 14,63%

Ist das ein kompletter Pfusch oder findet jemand ein Fünkchen Wahrheit darin. :)

lg

also ich find schon ein fünkchen wahrheit darin, weiß nur nicht ob das jetzt sehr viel heißt!

in deinem fall wäre im nenner dann (Summe <k=1 bis n> W(Hk)*W(A|Hk))
was W(Hk) und was W(A|Hk)???

@SDDS: du hast weiter oben erwähnt das das wie in beispiel 13,14,15 ist!
könntest du vl bsp. 14 posten?

lg jacko

[SDDS]

@jacko:
ja bsp 14 ist eben genau gleich. und auch hier steh ich vor dem problem wie ich auf W(A^c n B^c) komme... mach kurz nen neuen thread dazu. http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=59026

[Step2Web]

in deinem fall wäre im nenner dann (Summe <k=1 bis n> W(Hk)*W(A|Hk))
was W(Hk) und was W(A|Hk)???


Das wären jetzt alle Möglichkten die du in Betracht ziehst. Im Prinzip
Erwünschte / Mögliche.

lg

[Jacko]

@jacko:
ja bsp 14 ist eben genau gleich. und auch hier steh ich vor dem problem wie ich auf W(A^c n B^c) komme... mach kurz nen neuen thread dazu. http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=59026

ich würd dir da ja gerne weiterhelfen, aber leider hab ich selber keine ahnung bei dem teil der dir fehlt!

Das wären jetzt alle Möglichkten die du in Betracht ziehst. Im Prinzip
Erwünschte / Mögliche.
lg

aber was hat das dann jetzt mit der bayesschen formel zu tun? wenn ich erst recht günstige/mögliche rechne?

lg jacko

[Square]

Kann man nicht einfach sagen: W(AnB) = W(A) * W(B)

[Step2Web]

aber was hat das dann jetzt mit der bayesschen formel zu tun? wenn ich erst recht günstige/mögliche rechne?


Wenn ich das richtig überzuckert hab, ist die bayessche Formel nur eine normale Günstige/Mögliche Rechnung, wo du allerdings nicht mit Stückzahlen rechnest sondern mit den (bedingten) Wahrscheinlichkeiten. Also mit konkreten Prozentzahlen, wenn man das so unstatistisch ausdrücken darf.


Ich versuchs mal an diesem Beispiel zu erklären, was ich mein:
http://de.wikipedia.org/wiki/Bayestheorem#Rechenbeispiel_1

Man hat 2 Urnen also eine 50%ige Wahrscheinlichkeit, dass man aus der Urne A eine Kugel zieht. Weiter eine 7/10 Große, dass es auch noch eine rote ist --> 1/2 * 7/10. Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine Günstige zieh.
Jetzt dividiert man in der bayesschen Formel noch durch die Wahrscheinlichkeit der "Möglichen". Also 1/2 * 7/10 (das sind die Möglichen, die ich auch als meine Günstigen verwende) + 1/2 * 1/10 (die eine Rote ausUrne B)

Somit kommt man auf (1/2 * 7/10) / ((1/2 * 7/10) + (1/2 * 1/10)).

Und genau das umgemünzt auf unser Beispiel, hab ich in meine ersten Post geschrieben. Wobei wir hier 3 anstatt 2 möglichen Wahrscheinlichkeiten haben (Modul A & Absturz, Modul B & Absturz, Modul A, B & Absturz).

Ich hoffe es kann irgendjemand meine geistigen Verwirrungen nachvollziehen ;)

lg

[SDDS]

@Square: Ne schau da mal das Additionstheorem an... W(AnB) = W(A) + W(B) - W(AuB)

[Jacko]

Wenn ich das richtig überzuckert hab, ist die bayessche Formel nur eine normale Günstige/Mögliche Rechnung, wo du allerdings nicht mit Stückzahlen rechnest sondern mit den (bedingten) Wahrscheinlichkeiten. Also mit konkreten Prozentzahlen, wenn man das so unstatistisch ausdrücken darf.


Ich versuchs mal an diesem Beispiel zu erklären, was ich mein:
http://de.wikipedia.org/wiki/Bayestheorem#Rechenbeispiel_1

Man hat 2 Urnen also eine 50%ige Wahrscheinlichkeit, dass man aus der Urne A eine Kugel zieht. Weiter eine 7/10 Große, dass es auch noch eine rote ist --> 1/2 * 7/10. Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine Günstige zieh.
Jetzt dividiert man in der bayesschen Formel noch durch die Wahrscheinlichkeit der "Möglichen". Also 1/2 * 7/10 (das sind die Möglichen, die ich auch als meine Günstigen verwende) + 1/2 * 1/10 (die eine Rote ausUrne B)

Somit kommt man auf (1/2 * 7/10) / ((1/2 * 7/10) + (1/2 * 1/10)).

Und genau das umgemünzt auf unser Beispiel, hab ich in meine ersten Post geschrieben. Wobei wir hier 3 anstatt 2 möglichen Wahrscheinlichkeiten haben (Modul A & Absturz, Modul B & Absturz, Modul A, B & Absturz).

Ich hoffe es kann irgendjemand meine geistigen Verwirrungen nachvollziehen ;)

lg

gut! so versteh ich das mal!
kann trotzdem noch nicht sagen obs jetzt stimmt!

lg jacko

[M@dM@xOne]

@Square: Ne schau da mal das Additionstheorem an... W(AnB) = W(A) * W(B) - W(AuB)
W(AnB)= W(A)*W(B)
du verwechselst hier selber einiges.
W(AuB)=W(A)+W(B)-W(AnB)
bei deiner Form wäre der Schnitt ja wohl was negatives.

[SDDS]

W(AnB)= W(A)*W(B)
du verwechselst hier selber einiges.
W(AuB)=W(A)+W(B)-W(AnC)
bei deiner Form wäre der Schnitt ja wohl was negatives.

ja verschrieben... das * sollte ein + sein

W(AnB) = W(A) + W(B) - W(AuB) ... und nicht C hier MadMax ;)

[M@dM@xOne]

ja, man kann sich mal verschreiben.

dennoch ist die Aussage von square korrekt. du verwechselst hier nämlich n und u.

[SDDS]

*g* nein. bring einfach W(AnB) nach links und W(AuB) nach rechts.
Is nicht ganz das Additionstheorem aber wir brauchen ja W(AnB) darum hab ichs halt so "umgeformt" ...

[M@dM@xOne]

und nochmal langsam für dich: multiplizier die Einzelwahrscheinlichkeiten und das reicht aus für die Schnittmenge.

edit: wobei ich ja gern wissen würde wie du AuB ausrechnest, ohne AnB zu haben. sag jetzt nich mit dem Additionstheorem.

[SDDS]

und nochmal langsam für dich: multiplizier die Einzelwahrscheinlichkeiten und das reicht aus für die Schnittmenge.

edit: wobei ich ja gern wissen würde wie du AuB ausrechnest, ohne AnB zu haben. sag jetzt nich mit dem Additionstheorem.

ok wenns in dem fall die einzelwahrscheinlichkeiten sind ok... schau ich mir morgen an. hab das jetzt nicht aus deinem post herausgelesen. dacht nur du zweifelst das addtheorem an.

zum edit: ja das war eben mein problem weiter oben... das ich keines von beiden habe... lass ma das...

[Timo1305]

mein Ergebnis wär 14,63%

wobei meine überlegung folgende war:

Modul A: Fehler & Absturz: 0,2 * 0,5
Modul B: - " - : 0,4*0,8
Modul A&B: -" -: 0,2 * 0,4 * 0,9

Jetzt die Bayes'sche Formel:

W(Hj|A) = (W(Hj)*W(A|Hj))
(Summe <k=1 bis n> W(Hk)*W(A|Hk))

Beispieltechnisch heißt das für uns:

W(ModulA&B|Absturz) =
(0,2*0,4*0,9)
((0,2*0,5)+(0,4*0,8)+(0,2*0,4*0,9))
=0,1463

--> 14,63%

Ist das ein kompletter Pfusch oder findet jemand ein Fünkchen Wahrheit darin. :)

lg

In den Folien steht bei der Bayes'schen Formel, dass die Vorrausetzungen des Satzes von der vollständigen Wahrscheinlichkeit gelten. D.h.: Hk eine endliche oder abzählbare Folge von paarweisen diskunkten Ereignissen mit W((vereinigung) Hk ) = 1 und W(Hk)>0.
Hk ist dann in diesem Beispiel: H1 = FehlerInModulA, H2 = FehlerInModulB, H3 = FehlerInModulA geschnitten FehlerInModulB

Dieses Hk's sind nicht zueinander disjunkt und die Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser leider auch nicht 1. :( Mein Vorschlag wäre, wie von Anderen glaube ich auch schon vorgeschlagen:
H1 = FehlerInModulA geschnitten FehlerInModulB, H2 = nicht( FehlerInModulA geschnitten FehlerInModulB)

Wie man jetzt W(Absturz|H2) berechnet, ist mir leider noch ein Rätsel.

[M@dM@xOne]

Hier stand Blödsinn

[Square]

Hm, also die Formel:
W(AnB|G) = (W(AnB)*W(G|AnB))/(W(AnB)*W(G|AnB)+W((AnB)^c)*W(G|(AnB)^c))
ist noch richtig, oder bin ich jetzt auf dem total falschen Weg.
Die Frage ist also "nur", wie man AnB berechnet oder??? :confused:

[SDDS]

@Square: Meiner Meinung nach ja.
Und für AnB reichen laut M@dM@xOne die multipl. Einzelwahrschlichkeiten.
Also W(AnB) = W(A) * W(B).

[Square]

Okay, hab mich nämlich bei der Diskussion bez. der Frage nicht mehr ausgekannt. Denn einige meinen ja - andere wiederum nein. Jedoch bin ich auch der Meinung: Warum denn nicht A*B?

[M@dM@xOne]

Hm, also die Formel:
W(AnB|G) = (W(AnB)*W(G|AnB))/(W(AnB)*W(G|AnB)+W((AnB)^c)*W(G|(AnB)^c))
ist noch richtig, oder bin ich jetzt auf dem total falschen Weg.
Die Frage ist also "nur", wie man AnB berechnet oder??? :confused:
die Formel sollte passen, nur ist unser Problem, dass wir die Wahrscheinlichkeit, dass das System ausfällt, wenn keine Komponente defekt nicht wissen - auch wenn ich angenommen hätte, dass es dann nicht ausfällt.

[Vergessen]

////////// Fehler ///////// Absturz bei Fehler //////// Fehler ohne Absturz
Komp1 ////0,2 //////////////////0,5///////////////////////// 0,1 (0,5)
Komp2 /////0,4 ////////////////0,8 /////////////////////////0,08 (0,2)
Beide //////0,18 (0,1+0,08) //0,90 ///////////////////////0,018

hätt ich mal so rein im Kopf gesagt...

edit: hier steht auch nicht die lösung, die hab ich selber noch nicht, aber eine gerechnete aufstellung.

Zb. 20% der Komp1 hat einen Fehler der zu 50% einen Absturz verursacht -> 0,1 Komp1 verursachen keinen Absturz
Selbes bei Komp2 mit anderen Zahlen
Daraus folgt das 0,18 der Komp1 und Komp2, die einen Fehler haben zu 90% einen Absturz haben (was dann 16,2% wären).
Aber das ohne Formel, rein von der Angabe her.
Vielleicht hilft mein Ansatz ja jemanden mit Mathematikkenntnissen weiter, die ich nicht besitze :D

[M@dM@xOne]

////////// Fehler ///////// Absturz bei Fehler //////// Fehler ohne Absturz
Komp1 ////0,2 //////////////////0,5///////////////////////// 0,1 (0,5)
Komp2 /////0,4 ////////////////0,8 /////////////////////////0,08 (0,2)
Beide //////0,18 (0,1+0,08) //0,90 ///////////////////////0,018

hätt ich mal so rein im Kopf gesagt...
damit kann ich jetzt gar nichts anfangen - wir sollen doch die Wahrscheinlichkeit, dass beide Module defekt sind, wenn das System abstürzt, bestimmen.

[sloppy]

Ich fasse hier mal die Ergebnisse der Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen die man für die Berechnung braucht:

P(A n B) = 0.08
P(G|A n B) = 0.9
P((A n B)^c) = 0.92

Die einzige Einzelwahrscheinlichkeit die jetzt noch abgeht ist P(G|(A n B)^c), dann könnte man das Beispiel lösen.

Hat irgendjemand eine Ahnung wie man die berechnet?

[Square]

Ich fasse hier mal die Ergebnisse der Einzelwahrscheinlichkeiten zusammen die man für die Berechnung braucht:

P(A n B) = 0.08
P(G|A n B) = 0.9
P((A n B)^c) = 0.92

Die einzige Einzelwahrscheinlichkeit die jetzt noch abgeht ist P(G|(A n B)^c), dann könnte man das Beispiel lösen.

Hat irgendjemand eine Ahnung wie man die berechnet?

Gibt es irgendeine Möglichkeit das G von P(G|AnB) zu berechnen, wenn man das Ergebnis weiß?

[sloppy]

Du meinst das P(G) zu berechnen? Da hilft einem das P(G|A n B) nicht recht viel weiter glaub ich.

[HerculeZ]

@Square: Meiner Meinung nach ja.
Und für AnB reichen laut M@dM@xOne die multipl. Einzelwahrschlichkeiten.
Also W(AnB) = W(A) * W(B).

Ich bin auch der Meinung, dass die multiplizierten Einzelwahrscheinlichkeiten stimmen.

Mein Problem ist, dass man um W(AnB|G) zu berechnen (und das ist ja offensichtlich gesucht) die Wahrscheinlichkeit eines Absturzes W(G) braucht. Wie komme ich auf W(G)?? Ich kenne ja nur die bedingten Wahrscheinlichkeiten W(G|A), W(G|B) und W(G|AnB). Kann ich daraus irgendwie die Wahrscheinlichkeit eines Absturzes W(G) herleiten??

lg
herculez

[SDDS]

@HerkuleZ: wieso brauchst W(G) ?
für die bayes'sche formel brauchen wa doch W(G|(AnB)^c) !?

lg

EDIT: da absturz is ja bedingt durch modulfehler.

[sloppy]

W(G) = W(A n B)W(G|A n B) + W((A n B)^c)W(G|(A n B)^c) laut der Formel von Bayes. Jetzt bleibt allerdings noch die Frage wie man W(G|(A n B)^c) berechnet.

[Square]

Ich mein von p(G\AnB) davon das G berechnen. wir wissen AnB und was in Summe rauskommt, kann man wenn man das alles weiß nicht G irgendwie ermitteln???? Ideen???

[sloppy]

aber was meinst du mit G? das muss man doch nicht mehr berechnen, G ist einfach das ereignis dass ein absturz eintritt. du kannst höchsten nach W(G) fragen!?!

[M@dM@xOne]

EDIT: da absturz is ja bedingt durch modulfehler.
wenn man das Annehmen darf, sollte W(G|(AnB)^c)=W(G|A)+W(G|B)-W(G|AnB)sein oder?

[M@dM@xOne]

Ich mein von p(G\AnB) davon das G berechnen. wir wissen AnB und was in Summe rauskommt, kann man wenn man das alles weiß nicht G irgendwie ermitteln???? Ideen???

für G|AnB haben wir doch schon die Wahrscheinlichkeit gegeben - nämlich 0,9

[SDDS]

wenn man das Annehmen darf, sollte W(G|(AnB)^c)=W(G|A)+W(G|B)-W(G|AnB)sein oder?

klingt intressant... wie kommst du da drauf?
lg

[M@dM@xOne]

W(G|(AnB)^c) ist ja nichst anderes als die Wahrscheinlichkeit für G wenn (Anb)^c schon gegeben ist. und (anb)^c ist von M alles außer anb, was meines Erachtens die Fälle a + b - anb und der fall a^cnb^c sein müsste.
wobei ich glaub, es müsste -2 anb sein, oder?

[Square]

für G|AnB haben wir doch schon die Wahrscheinlichkeit gegeben - nämlich 0,9

Jaja, dass weiß ich eh. Nur gibts denn da keine Möglichkeit wenn ich eh schon die 0.9 weiß, dass man G irgendwie berechnet???

[M@dM@xOne]

G ist ja leider für jede Ausgangsmenge unterschiedlich - nachdem die Komponenten sich auch unterschiedlich auswirken.
ps: Statistik steigert meine post-Zahl ins Unendliche.

[HerculeZ]

Kann man nicht einfach sagen, dass W(G|(AnB)^c) = 1 - W(G|AnB)??

Meines Erachtens sollte W(G|(AnB)^c) + W(G|AnB) = 1 sein, weil (AnB) u (AnB)^c = M. Oder irre ich mich da??

[Square]

G ist ja leider für jede Ausgangsmenge unterschiedlich - nachdem die Komponenten sich auch unterschiedlich auswirken.
ps: Statistik steigert meine post-Zahl ins Unendliche.

hmm. ich hab gedacht dass W(G/(AnB)^c) und W(G/AnB) das gleiche G haben und könnten wir das G aus Formel 2 berechnen (AnB haben wir und dass erg von W(G/AnB)=0.9) So hätten wir G und man müsste es nur für die erste Formel einsetzen und wir hätten das Ergebnis.

[M@dM@xOne]

nur weißt du leider nicht wieviel in dem Fall 1 ist. also eigentlich der bedingte Merkmalraum. diese 1 hab ich eben entschlüsselt in W(G|A)+W(G|B)-W(G|AnB)+W(G|(AnB)^c)

[SDDS]

Kann man nicht einfach sagen, dass W(G|(AnB)^c) = 1 - W(G|AnB)??

Meines Erachtens sollte W(G|(AnB)^c) + W(G|AnB) = 1 sein, weil (AnB) u (AnB)^c = M. Oder irre ich mich da??

ne leider genau andersrum
W(G^c|(AnB)) = 1 - W(G|AnB)??

[M@dM@xOne]

hmm. ich hab gedacht dass W(G/(AnB)^c) und W(G/AnB) das gleiche G haben und könnten wir das G aus Formel 2 berechnen (AnB haben wir und dass erg von W(G/AnB)=0.9) So hätten wir G und man müsste es nur für die erste Formel einsetzen und wir hätten das Ergebnis.

anschauliches Beispiel: 4 Eimer werden unterschiedlich aus einem größeren Gefäß mit Kugeln befüllt - in jedem ist ne andere Mischung aus roten und blauen. G ist dann die Wahscheinlichkeit, dass man ne rote zieht.

Glaubst du, dass dann G bei allen Eimern gleich ist?

edit:noch etwas verbessert

[Square]

Okay, es heißt ja G unter der Bedingung dass....

[gimmix]

hi

berechnet mit baye'schen formel:

module 1 und 2

F12 -> Fehler in 1 und 2 W(F12) = W(F1 n F2) = W(F1) * W(F2) = 0,08 -> da F1 und F2 unabhängig von einander

F1 -> Fehler in 1 W(F1) = 0.2
F2 -> Fehler in 2 W(F2) = 0.4

A -> Absturz

W(A|F1) = 0.5
W(A|F2) = 0.8
W(A|F12) = 0.9

W(F12|A) = W(F12) * W(A|F12) / ( W(F1)*W(A|F1) + W(F2)*W(A|F2)) =
= 0,08* 0,9 / (0,2 * 0,5 + 0,4 * 0,8) =
= 0,1714 ...

[M@dM@xOne]

Okay, es heißt ja G unter der Bedingung dass....
kein Problem - mir wäre es genauso recht, wenn einer mir das Gegenteil klarmachen würde und ich dann vielleicht aus dieser gedanklichen Sackgasse kommen würde.

vielleicht könnten die vielen Mitleser auch mal was beisteuern.

[M@dM@xOne]

W(F12|A) = W(F12) * W(A|F12) / ( W(F1)*W(A|F1) + W(F2)*W(A|F2) + W(F12)*W(A|F12) ) =
= 0,08* 0,9 / (0,2 * 0,5 + 0,4 * 0,8+ 0,08 * 0,9) =
= 0,1463 ...
ich denke nicht das das so passt, weil F1nF2 nunmal schon in f1 +f2 vorhanden ist.

[gimmix]

mh stimmt auch wieder, dann kommt man auf etwa 0.17

[HerculeZ]

also ich komme auf eine wahrscheinlichkeit von ~ 0,146

berechnet mit baye'schen formel:

module 1 und 2

F12 -> Fehler in 1 und 2 W(F12) = W(F1 n F2) = W(F1) * W(F2) = 0,08 -> da F1 und F2 unabhängig von einander

F1 -> Fehler in 1 W(F1) = 0.2
F2 -> Fehler in 2 W(F2) = 0.4

A -> Absturz

W(A|F1) = 0.5
W(A|F2) = 0.8
W(A|F12) = 0.9

W(F12|A) = W(F12) * W(A|F12) / ( W(F1)*W(A|F1) + W(F2)*W(A|F2) + W(F12)*W(A|F12) ) =
= 0,08* 0,9 / (0,2 * 0,5 + 0,4 * 0,8+ 0,08 * 0,9) =
= 0,1463 ...

Das Problem dabei steht in folgendem Post (weiter oben):
http://www.informatik-forum.at/showpost.php?p=464523&postcount=22

F1 und F12 sind nicht disjunkt!

lg

[M@dM@xOne]

Aber vielleicht würde es reichen, wenn man es so macht:
W(F12|A) = W(F12) * W(A|F12) / ( W(F1)*W(A|F1) + W(F2)*W(A|F2) - W(F12)*W(A|F12) )

[HerculeZ]

Aber vielleicht würde es reichen, wenn man es so macht:
W(F12|A) = W(F12) * W(A|F12) / ( W(F1)*W(A|F1) + W(F2)*W(A|F2) - W(F12)*W(A|F12) )

Die Summe der Hk (siehe Buch od. Folien) muss 1 sein, also in dem Fall müsste W(F1)+W(F2)-W(F12) = 1 sein.

lg

[M@dM@xOne]

du vergisst, dass es noch den 4. Fall gibt W(F1^cnF2^c)- nur bei dem wird die G|(f1^cnf2^c) 0 sein und somit lassen wir ihn einfach weg.

[gimmix]

naja das letzte Hk wäre dann eigtl die wahrscheinlichkeit, dass es in Modul 1 und 2 keinen fehler gibt -> 1-(0.4+0.2)

die wahrscheinlichkeit, dass es bei keinem fehler zu einem absturz kommt sollte jetzt aber eigtl verschwindent klein sprich gegen 0 gehend sein

somit hätten wir ein 0.4*0 was wiederum wegfallen würde. somit müsste ~0.17 passen

o0

edit:madmax war schnell >.<

[M@dM@xOne]

naja das letzte Hk wäre dann eigtl die wahrscheinlichkeit, dass es in Modul 1 und 2 keinen fehler gibt -> 1-(0.4+0.2+0,08)

die wahrscheinlichkeit, dass es bei keinem fehler zu einem absturz kommt sollte jetzt aber eigtl verschwindent klein sprich gegen 0 gehend sein

somit hätten wir ein 0.48*0 was wiederum wegfallen würde. somit müsste ~0.17 passen

kleine Ausbesserung, damit die Hk gesamt 1 ergeben. Hoffentlich passt der Gedankengang, dass bei intakten Komponenten keine Fehler auftreten.

[HerculeZ]

es steht aber weiters im Buch, dass ALLE Hk > 0 sein müssen, damit der Satz v. d. vollst. Wahrscheinlichkeit und die Bayes'sche Formel gelten.

[M@dM@xOne]

nachdem du dich anscheinend besser als wir auskennst, wäre es toll, wenn du uns deinen Ansatz nennen könntest, bitte. Bitte? ps: du meinst, dass alle A>0 sein müssen.

edit: ich setz mich mal ne Weile zur Glotze - wenn ich zurückkomme, will ich ne Löseng.:devil:

[HerculeZ]

wer sagt, dass ich mich besser auskenne?? ich wollte euch nur darauf hinweisen, dass das meiner meinung nicht stimmt, weil ich das gerade im buch nachgelesen habe.

wenn ich einen besseren ansatz hätte, hätte ich ihn schon längst gepostet. oder glaubst du ich will mir hier nur einen spaß daraus machen eure ansätze "schlecht" zu machen, obwohl ich das MEINER meinung nach gar nicht tue?!

ps: auch die W(Hk) muss > 0 sein!

[Square]

sagt ja keiner, dass du die ansätze der anderen schlecht machst. das prob ist nur, dass wir grad an nen toten punkt angekommen sind und das ist total frustrierend.

[M@dM@xOne]

wer sagt, dass ich mich besser auskenne?? ich wollte euch nur darauf hinweisen, dass das meiner meinung nicht stimmt, weil ich das gerade im buch nachgelesen habe.

wenn ich einen besseren ansatz hätte, hätte ich ihn schon längst gepostet. oder glaubst du ich will mir hier nur einen spaß daraus machen eure ansätze "schlecht" zu machen, obwohl ich das MEINER meinung nach gar nicht tue?!
Ich bin nicht auf dich angefressen, sondern auf das tolle Beispiel. Und gerade, weil du wenigst nachliest, kennst du dich doch besser aus als wir. Hab ja schon vorher mal gesagt, dass ruhig wer meine Gedanken widerlegen soll, nur schön langsam weiß ich nich mehr weiter.

ps: Ich geh jetzt trotzdem fernschauen.

pps: die W(Hk) wäre ja 0,42 - die W(A|Hk) leider nicht.

[HerculeZ]

ok, hab das vielleicht ein bisschen falsch verstanden, sorry. ich glaub ich hab genug für heute, werd mich morgen weiter damit plagen, vielleicht kommt dann die zündende idee?!

[exkalation]

Meiner Meinung muss man das W(F1 n F2) * W(G | F1 n F2) im Nenner noch subtrahieren, denn:

1. Additionstheorem:
W(F1) + W(F2) - W(F1 n F2) + W(F1^c n F2^c) =
= 0.2 + 0.4 - 0.08 + 0.48 = 1

2. W(F1^c n F2^c) * W(G | F1^c n F2^c) kann man weglassen, weil es nie abstürzen dürfte, wenn beides nicht fehlerhaft ist.


So käme ich auf 0,2069

[M@dM@xOne]

wenn ein Ereignis im Nenner vorkommt, so muss dessen Wahrscheinlichkeit auch größer als 0 sein - das ist es doch, was HerculeZ richtig erkannt und auch geäußert hat.

[Pannonian]

Gimmix: müsst bei dir nicht noch in den Nenner gehören: W(F12)*W(A|F12)

Ich versteh grad nicht wieso das rausfiel...

Edit: also ihr seid der Meinung das A n B im nenner brauch ich nicht weil ich schon A und B drin hab... die frage ist nur: was ist jetzt richtig?

[fungi]

ich hab mir dazu folgendes gedacht:

da W(F1) und W(F2) unabhängig ->
W(F1^F2) = W(F1) * W(F2) = 8%

daraus erhalte ich:
W(F1-F2) = 12% und W(F2-F1) = 32%

für W(Absturz) ergibt sich
W(F1-F2)*W(A|F1) + W(F2-F1)*W(A|F2) + W(F1^F2)*W(A|F1^F2)

der Anteil, der uns interessiert ist
W(F1^F2)*W(A|F1^F2)

den Anteil dividiert durch W(Absturz) ergibt 18,56% :distur:

[Pannonian]

also ich habs jetzt auch nach fungi niedergeschrieben. nur gestatte mir eine kleine ausbesserung an deiner Formel:

W(F1-F2)... gehört das nicht hin W(F1-(F1 n F2)) ? (selbiges bei F2 dann)

So hört es sich für mich ganz richtig an. Man nimmt die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten für einen Fehler aus den Einzelwahrscheinlichkeiten.

Wenn das nicht gegen irgendwelche Rechenregeln verstößt ist das in meinen Augen richtig...

[fungi]

mit W(F1-F2) hab ich W(Mengendifferenz von F1 und F2) also W(F1 ohne F2) gemeint, das ist glaub ich das gleiche was du geschrieben hast :cool:

[Pannonian]

Vermutlich meine Berechnung sieht jetzt so aus:

W(AnB|G)=(W(AnB)*W(G|AnB))/(W(A-(AnB))*W(G|A)+W(B-(AnB))*W(G|B)+W(AnB)*W(G|AnB)) = 0,1855...

Eigentlich würd ja noch die gegenwahrscheinlichkeit dazugehören aber weil die eh mit 0 multipliziert werden würde, lass ich sie raus.

Kann sich jemand dem anschließen?

[M@dM@xOne]

und genau da liegt der Haken: Wenn ein Ereignis im Merkmalraum liegt, muss laut Buch auch die Wahrscheinlichkeit dazu größer 0 sein.

[Pannonian]

mal abgesehen davon... bist du sonst einverstanden mit der Lösung?

Ich denke wegen dem *0 werd ich heut sowieso fragen müssen. Aber meiner meinung nach stürzt ein programm ohne fehler nicht einfach ab nur weils grad lustig ist (nicht mal Windows tut das)

Edit: oder wir nehmen fiktiv an es gibt eine chance von 0,0000000000001 dass sich das Programm aus Jux aufhängt... fällt aus der praktischen lösung genauso raus

[M@dM@xOne]

meine Lösung weiter oben im Thema war ja:
W(F12|A) = W(F12) * W(A|F12) / ( W(F1)*W(A|F1) + W(F2)*W(A|F2) - W(F12)*W(A|F12) )
was ja auf das gleiche rauskommt, da ihr ja 2mal die Schnittmenge abzieht, um sie dann einmal wieder dazuzurechnen.

[Pannonian]

mea culpa

Edit: nur wenn ichs so wie du rechne, also nicht von jedem einzeln abziehen, sondern gemeinsam, komm ich auf 0,206 und nicht auf 0,1855... Wär interessant was du rausbekommen hast

Edit2: du hast natürlich recht. Ich darf das F1nF2 nicht einfach ausm Produkt abziehen.

[fungi]

das mit den merkwürdigen definitionen im buch versteh ich auch nicht, aber ich hab mir halt gedacht, anschaulich ist doch die wahrscheinlichkeit für einen absturz eben die wahrscheinlichkeiten dass ein bestimmtes modul nicht funktioniert multipliziert mit der wahrscheinlichkeit dass das programm dann abstürzt und dann das für alle module aufsummiert (wobei man eben berücksichtigen muss, dass die wahrscheinlichkeiten für die module nicht disjunkt sind).
mal schaun, was er sagt, wenn ich das so erkläre :D

[Pannonian]

Naja es fügt sich schon irgendwie n bild zusammen... die wahrscheinlichkeiten insgesamt müssen 1 sein. Man nimmt sie für F1 und F2 ... davon muss man natürlich die gemeinsamkeit abziehen -(f1nf2)... und dann noch die gegenwahrscheinlichkeit dazu + (f1^cnf2^c). Ich glaub nur (an fungi gerichtet) das man das nicht einfach aus dem Produkt abziehen darf. Somit komm ich mit: w(f1) +w(f2) - w(f1nf2) + w(f1^cnf2^c) auf 1 wie exkala bereits schrieb.

Dann bleibt noch das Problem mit der Wahrscheinlichkeit 0:

Wenn ich heute dazu drankomm werd ich argumentieren dass die Wahrscheinlichkeit nicht 0 ist sondern gegen 0 geht, und man deswegen den Term in der Berechnung zur wahrscheinlichkeit weglassen kann.

Und voila ich hab meine 0,2069

[preuss]

das klingt ja alles recht richtig!
könntet ihr noch eure werte für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten angeben? wäre nett

lg

[Pannonian]

f1 = 0,2 dass es auch abstürzt = 0,1
f2 = 0,4 -"- = 0,32
f1nf2 = 0,08, -"- = 0,072
f1^cnf2^c= 0,48, -"- = 0 (das is ja das problem)

also hast du dann 0,2 + 04 + 0,48 - 0,08 = 1

[exkalation]

Dass die Warsch. von W(G | F1^c n F2^c) gleich NULL ist ist doch egal, oder? (Und sie ist 0, sonst müsste es irgendwie in dem Bsp. angegeben werden, dass das Ding auch abstürzen kann, wenn beide Module funktionieren!)

Nur W(F1^c n F2^c) darf nicht 0 sein, und das ist es auch nicht, sondern einfach W(F1^c) * W(F2^c).

[Pannonian]

*blätter*

also eh... ich glaub... du hast recht... klingt... logisch

[Kujaku]

ich hab jetz nicht alles gelesen also sry, falls ich etwas wiederhole, aber

Sollte es nicht heißen:
W(A) = 0,2
W(B) = 0,4
W(G|A n B^c) = 0,5
W(G|B n A^c) = 0,8
W(G|A n B) = 0,9

Denn W(G|A) = 0,5 allein schließt ja den Fall nicht aus, in dem B auch fehlerhaft ist. In der Angabe steht aber, "die Warsch. dass das System abstürzt wenn NUR A Fehler enthält ist 0,5". Und meiner Meinung "NUR A" heißt "A n B^c". Oder ist das egal?
das stimmt und es ist nicht egal, gleichzeitig zeigt es aber den weg zur lösung, die meines erachtens richtig ist:

wir nehmen
H_1 = A \cap B^c
H_2 = A^c \cap B
H_3 = A \cap B

diese Ereignisse sind Paarweise disjunkt und W(H_1 \cap H_2 \cap H_3) = 1 -> wir können den Satz der Vollständigen Wahrscheinlichkeit und damit auch die Baye'sche Formel direkt anwenden.
Ab ... Absturz

W(H_3|Ab) = \frac{W(H_3)*W(Ab|H_3)}{W(H_1)*W(Ab|H_1) + W(H_2)*W(Ab|H_2) + W(H_3)*W(Ab|H_3)}

für die einzelwahrscheinlichkeiten der H_i ergibt sich:
W(H_1)=W(A \cap B^c)=W(A)*(1-W(B))=0.12
W(H_2)=W(A^c \cap B)=(1-W(A))*W(B)=0.32
W(H_3)=W(A \cap B)=W(A)*W(B)=0.08

weiteres ist gegeben:
W(Ab|H_1) = 0.5
W(Ab|H_2) = 0.8
W(Ab|H_3) = 0.9

einsetzen in die baye'sche formel:
W(H_3|Ab)=\frac{0.08*0.9}{0.12*0.5+0.32*0.8+0.08*0 .9}=0.1856

[Mickle]

OK, tut mir leid für die Verspätung, aber ich habe mich so überlegt:

Gegeben:
W(F1) = 0,2
W(F2) = 0,4
W(A | F1 n F2^c) = 0,5
W(A | F1^c n F2) = 0,8
W(A | F1 n F2) = 0,9

=>
W(F1 n F2) = W(F1)*W(F2)
W((F1 n F2)^c) = 1 - W(F1)*W(F2)
W(A | (F1 n F2)^c) =
= W(A | F1 n F2^c)*(W(F1) - W(F1)*W(F2)) + W(A | F1^c n F2)*(W(F2) - W(F1)*W(F2))
Erklärung für den letzten Ausdruck: Wahrscheinlichkeit von Absturz dank einen Fehler, der nur in Program 1 enthalten ist, plus Wahrscheinlich von dem gleichen für Program 2.

Einsetzen:
W(F1 n F2 | A) =

= W(F1)*W(F2)*W(A | F1 n F2)
-------------------------------------------------------
W(F1)*W(F2)*W(A | F1 n F2) + (1 - W(F1)*W(F2))*(W(A | F1 n F2^c)*(W(F1) - W(F1)*W(F2)) + W(A | F1^c n F2)*(W(F2) - W(F1)*W(F2)))

= 0,2 * 0,4 * 0,9
---------------------------------------------------------------------------
0,2 * 0,4 * 0,9 + (1 - (0,2 * 0,4))*(0,5*(0,2 - (0,2 * 0,4))+(0,8*(0,4 - (0,2 *0,4))))

= 0,1985

ABER, jetzt dass ich die Lösung von Kujaku anschaue, kommt mir vor, dass die wahrscheinlich die richtige ist.

[Kujaku]

wenn du
+ W(A | F1^c n F2)*(W(F2) - W(F1)*W(F2)))
weglässt müsste es auch funktionieren, mit (F1 n F2)^c unf F1 n F2 sollte es auch funktionieren, alles andere wäre aber dann zuviel, weil F1^c n F2 und F1 n F2^c bereits in (F1 n F2)^c fallen (einfach als mengendiagramm vorstellen), damit sind sie nicht paarweise disjunkt und der satz der vollständigen wahrscheinlichkeit und damit auch die bayesche formel gilt nicht!

[Eukaryont]

@kujaku: müsst die summe deiner w(H_k) nicht 1 geben damit du die bayes-formal anwenden kannst ?

[Mickle]

@kujaku: müsst die summe deiner w(H_k) nicht 1 geben damit du die bayes-formal anwenden kannst ?

das tun sie eh, oder?

[Eukaryont]

0.12+0.32+0.08 = 0.52 :-/

[M@dM@xOne]

nach der Übung ist man wieder mal klüger - also war es richtig, dass die Wahrscheinlichkeit des Absturzes bei intakten Komponenten 0 ist - auch wenn das Buch uns irgendwie was anderes sagt.

[Mickle]

0.12+0.32+0.08 = 0.52 :-/

Naja das ist die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass man überhaupt ein Fehler kriegt. Und das ist eigentlich genau das, was wir wissen wollen (da ein Absturz gegeben ist => ein Fehler existiert gegebenfalls). Und tatsächlich werden 100% von allen Fehlerfällen abgedeckt: nur Prog1 hat ein Fehler, nur Prog2 hat ein Fehler, oder beide.

[Eukaryont]

aaaaaah verstehe :D ... jetz gehts licht auf :shinner: dh ich hätte theoretisch noch H_4 = A_c n B_c dh. beide komponenten fehlerfrei mit W(H_4) = (1-w(a))*(1-w(b)) = 0,48 , aber diesre summand fällt im nenner weg weil wahrscheinlichkeit für absturzt | keine fehler = 0 .... richtig ? :D

fettes merci an die vorigen 2 poster ;)

[Mickle]

aaaaaah verstehe :D ... jetz gehts licht auf :shinner: dh ich hätte theoretisch noch H_4 = A_c n B_c dh. beide komponenten fehlerfrei mit W(H_4) = (1-w(a))*(1-w(b)) = 0,48 , aber diesre summand fällt im nenner weg weil wahrscheinlichkeit für absturzt | keine fehler = 0 .... richtig ? :D

fettes merci an die vorigen 2 poster ;)

Ich hatte es nicht genau so überlegt, aber ich glaube, du hast recht. Bitte :thumb:.

[don_durito]

jetzt gebe ich auch noch meinen Senf dazu (hübsch illustriert...)
Zuerst zum Grundsätzlichen: Kann das System auch ohne einen Fehler in einem der Module (A, B) abstürzen (C wie Crash...), oder geht das nicht?

Geht man vom ersten Fall aus, so behaupte ich, dass es mit den Informationen die wir haben nicht möglich ist, P(A \cap B |C) zu berechnen. Veranschaulicht wäre das der Rote Bereich im Verhältnis zum grauen Bereich, also \frac{rot}{grau} oder \frac{A \cap B \cap C}{C\setminus (A \cap B \cap C)}. Nachdem es aber keinen Hinweis darauf gibt wie groß C ist, ist das nicht möglich.

Fall 2 schließt sich auch aus, da P(A\cup B) auch bei bestem Willen nicht 1 wird.

Die möglichen Lösungen mit der Formel von Bayes überzeugen mich auch nicht, da die Summe über alle P(H_k) dabei nicht 1 ist.


Also ich bin ratlos und verzweifelt und weiß nicht recht weiter und mein Anmerkungen sind wahrscheinlich auch falsch.

[M@dM@xOne]

wie ich schon nach unserer Übung geschrieben habe, stürzt anscheinend bei intakten Komponenten nichts ab - bei Prof. Gurker war das die richtige Annahme.