Beispiel Z4

[.:L.o.A:.]

Zylinder, Kegel, Kegelstumpf sind straight forward und wie erwartet kommt durch die Integration nach Kepler immer die Volumensformel für die Körper heraus.

Wenn jemand eine ahnung hat, welche formel für das rotationsparaboloid verwendet werden und welches volumen da rauskommen soll, nur nicht schüchtern sein und posten

[HeLeni]

habs mit der parabelgleichung (in 1. hauptlage) y^2 = 2px probiert.

volumen ist mir als formel unbekannt.

bei mir kommt raus: V = h^2 * pi * p, wenn h die Länge in x-Richtung ist. (wie die Höhe bei nem liegenden Zylinder)

lg

[HeLeni]

wie hast du den kegelstumpf gerechnet?

einfach wie Kegel nur die Integrationsgrenzen NICHT von 0 bis H sondern von h bis H ??

thx

[Infamous]

wie hast du denn den zylinder?
ein zylinder als rotationskörper is doch eine konstante (r) die um die x achse rotiert mit dem intervall 0 bis h
in welche funktion hast du da dann bei kepler eingesetzt?

[HeLeni]

zur veranschaulichung:

liegender zylinder. wie du gesagt hast, rotiert ein konstanter wert (= f(x) mit steigung null, also 0*x + r; r ist konstant) um die x-achse.

der querschnitt Q(x) ist ein kreis mit dem radius f(x) = r.

also Q(x) = pi * r^2.

in der kepler-formel einfach immer Q(x) einsetzen. achtung, x kommt garnicht in der gleichung vor, drum gibts immer den selben wert.


V = h/6 * (pi*r^2 + 4*pi*r^2 + pi*r^2)


beim liegenden kegel (spitze im ursprung) ist es dasselbe, nur das
f(x) = r/h * x ist.
und Q(x) = pi * (r^2 / h^2) * x^2

[Infamous]

thx so is es klar

[Infamous]

wie hast du den kegelstumpf gerechnet?

einfach wie Kegel nur die Integrationsgrenzen NICHT von 0 bis H sondern von h bis H ??

thx

beim Kegelstumpf ist das ganze ein Trapez habs mit der formel gemacht
x*((R-r)/h) + r

R... großer radius unten
r... kleiner radius oben wenn man sich den kegel stehend vorstellt

Integral von 0 bis h

[Geksi]

beim kegelstumpf komm ich auf: pi/3 * h * (R² + R*r + r²) wobei R für den größeren radius und r für den kleineren gilt.

beim rotationsparaboloiden komm ich auf: pi/6 * h * (r² + r)
ich hab da die wölbung des paraboloiden als quadratische funktion f(x) = x² angenommen, wobei an der stelle f(r) = h rauskommt. d.h. r² = h womit gilt, dass h/2 = sqrt(r)/2 ist. somit konnt ich die fassregel folgend aufstellen:

h/6 * (r²*PI + 4*(sqrt(r)/2)²*PI + 0) = s.o.

kann das sein? ich geh jetzt jedenfalls trickern ... guts nächtle allerseits!

[Kujaku]

also eigentlich muss man ja nur zeigen, dass dieselbe formel wie beim integrieren rauskommt, ich hab einfach eine funktion f(x) = r; f(x) = k*x; f(x) = k*x^2 genommen, die quadrate davon integriert und ebenfalls mit den quadraten mit der faßregel angenähert. Es kommen dabei nicht genau die "offiziellen" formeln für die volumina raus, aber die ergebnisse stimmen mit den integralen überein, aber das war ja auch nicht gefragt.

[HeLeni]

parabel in 1.hauptlage hat gleichung y^2 = 2px
siehehttp://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/angeo3.htm

ich lass das rotieren um die x achse.
dann hab ich Kreis-Querschnitt Q(x) = pi * 2px

dann setze ich in die fassregel für das integral von 0-h ein und bekomme h^2 * pi * p.

ich denk nach der rotation ist das aber das doppelte volumen, weil die funktion ober- und unterhalb der x-achse besteht und "2 mal" rotiert.

also

V = (h^2 * pi * p) / 2


was haltet ihr davon?

[sloppy]

was ist ein Rotationsparaboloid? Es ist eine Parabel die um eine Achse rotiert, aber um welche? Um die x-Achse?

[TOMM (Harmanic)]

Wenn du eine Parabel in 1HL hast, solltest du sie um die x-Achse rotieren lassen, in 2.HL um die Y-Achse. Das Paraboloid sollte dann in etwa aussehen wie ein Kelch.