bsp. 251

[Mr. Zet]

Folge:

a0 = 4
an+1 = sqrt(6*an - 9)
n >= 0

Monotonie:

a0 = 4
a1 = sqrt(15)
a2 = sqrt(14,2379...)

(Induktionsstart)
A(n)
Man kann annehmen, dass an > an+1

also machen wir den Induktionsschritt
A(n+1)

an+1 > an+2

sqrt(6*an - 9) > sqrt(6*an+1 - 9) / ²
6*an - 9 > 6*an+1 - 9 / +9
6*an > 6*an+1 / durch 6
an > an+1

=> Monotonie für alle n bewiesen => Folge ist Monoton Fallend

Beschränktheit:

a0 = 4
a1 = sqrt(15)
a2 = sqrt(14,2379...)

ich nehme jetzt mal an, dass an > 3 gilt (Induktionsstart)

A(n+1) Induktionsschritt

an > 3 / *6
6*an > 18 / -9
6*an - 9 > 9 / sqrt()
sqrt(6*an - 9) > 3

=> die Folge ist beschränkt

Grenzwert:

Satz) Eine beschränkte monotone Folge hat genau einen Grenzwert.

lim an = a
lim an+1 = a (Können wir sagen, denn wenn wir ein Folgenglied weglassen ändert sich nichts am Grenzwert)
lim an+1*an+1 = a² (Satz: lim an*an = a^2 wenn lim an = a)
lim (6*an - 9) = a²

6a - 9 = a²
a² - 6a + 9 = 0

zerlegen in polynome:
(a - 3)(a - 3) = 0 => a=3

lim an = 3

fertig:

dank an wolti, ohne dessen thread ich wahrscheinlich nicht draufgekommen wäre: http://hades.gothic.at/iforum/showthread.php?s=&threadid=5664

die rot markierte zeile kann ich leider ned begründen.. da steh ich auf der leitung, weiß da wer weiter, warum ich das hier sagen kann?

[leviathan]

Das scheint richtig zu sein!!! DANKE!!!
P.S.: Wegen den Teil denn du nicht verstehst! Ich schaue es mir an vielleicht finde ich etwas heraus! Schau einfach nach einiger Zeit wieder rein oder soll ich dir eine persönliche nachricht schicken wenn ich was habe?

[Mr. Zet]

schreibs am besten hier rein, dann haben alle was davon ;)

[leviathan]

Ich habs das ist ganz einfach!!!!
Original von Mr. Zet
lim an+1*an+1 = a² (Satz: lim an*an = a^2 wenn lim an = a)
lim an+1 * an+1 = a² Das hast du ja schon bewiesen!!!
bei der angabe ist gegeben dass : an+1 = sqrt(6*an - 9)
daraus folgt
sqrt(6*an - 9) *sqrt(6*an - 9) = a²
daraus folgt
(6*an - 9) = a²

Damit hast du die Wurzel weggebracht!!!
Das ist doch eh nicht so schwer oder???

P.S.: Ich hätte es sowieso hier hineingeschrieben aber ich hätte dir zusätzlich eine persönliche Nachricht geschrieben damit du nicht immer hier bleiben mußt und dich nicht immer um das Aktualisieren kümmern mußt!!!

COOL nochmals danke für das Bsp. :thumb:

[Mr. Zet]

big THX :thumb:

ich sagte ja, ich steh auf der leitung ;) ist eh ganz leicht :hewa: :rolleyes: :D

und wie gesagt, ohne den wolti hätt ichs ned so schnell gelöst ;)

[leviathan]

Kein Problem! Ohne dich hätte ich ja auch nix also DANKE!!!! :thumb:

[gaiboy]

stimmt das so? kann ich das ankreuzen, brauch nämlich unbedingt beispiele

[leviathan]

Ich finde keinen Fehler! Bei wenn bist du bei den Übungen?

[gaiboy]

beim eigenthaler (eh da leiwaundste)

[mauticom]

Frage: müsste es nicht streng monoton fallend sein!? Da f(x) >= f(y) ist monoton fallend und f(x) > f(y) heißt streng monoton fallend. Und hier haben wir ja an > an+1???

Nur so ein Gedanke....

Ciao,

Mauti

[finyfunny]

ja glaub schon ich nehms zumindestens mal an. müsste stimmen

lg finyfunny

[sebus]

Hmm also ich habs mit f(x) >= f(y) weil nur gefragt iss, ob´s monoton ist, ned ob´s streng monoton iss.

Ausserdem habt ihr da meiner Meinung nach noch einen Fehler drinnen.
Beim Beweis der Monotonie:

an+1 > an+2

sqrt(6*an - 9) > sqrt(6*an+1 - 9) / ² ===> was ist mit Werten wo in der Wurzel ein neg. Ausdruck rauskommt ? Beweis dass 6*an-9 >= 0 !!!

6*an - 9 > 6*an+1 - 9 / +9
6*an > 6*an+1 / durch 6
an > an+1

Und bei der Beschränktheit:

ich nehme jetzt mal an, dass an > 3 gilt (Induktionsstart)

A(n+1) Induktionsschritt

an > 3 / *6
...
..


Ich nehme an ?!?! Induktionsstart kann doch nie eine Annahme sein oder ? Muss der Induktionsstart nicht etwas sein, wovon ich weiß dass es war ist ?!?!

Ich hab´s jedenfalls teilweise anders - aber hab keine Ahnung ob´s stimmt, weil das Beispiel nicht gerechnet wurde.

[psycho]

der induktionsstart ist dass a0 größer als 3 ist.

[sebus]

ah, dann stimmts natürlich:
Induktionsstart:
a0 > 3

Annahme an > 3 -> an+1 > 3
usw.