Deathdragon
08-10-2007, 21:48
Habe eine Frage zu Grundkurs Mathematik (siehe Skriptum S 2).
Da steht als Erklärung:
"Sei eine beliebige Menge M gegeben."
Das angewandt auf Bsp 1.10 von Seite 5 ergibt:
D = {µ,5,x}
"Dann kann man eine Klasseneinteilung dieser Menge (jedes Element von M muß in einer Klasse enthalten sein, je zwei verschiedene Klassen haben kein Element gemeinsam, keine Klasse ist leer) bilden und je zwei Elemente x,y äquivalent nennen (symbolisch x ~ y), die in derselben Klasse enthalten sind."
hä?! Klasseneinteilung?! Wie und warum?!
"Die Menge aller (geordneten) Paare von zueinander äquivalenten Elementen bildet eine Teilmenge von M². Diese Teilmenge besitzt folgende Eigenschaften:
x ~ x für alle x € M (Reflexivität)
falls x ~ y ist, so gilt auch y ~ x (Symmetrie),
wenn x ~ y und y ~z, so ist x ~ z (Transivität).Besitzt eine Teilmenge von M² diese Eigenschaften, so heißt sie Äquivalenzrelation. Sie definiert eindeutig eine Klasseneinteilung und umgekehrt. Allgemein heißt jede Teilmenge von M² Relation auf der Menge M."
Das heißt auf das Beispiel 1.10, Seite 5 angewandt:
D = {µ,5,x}
Reflexivität
R1 = (x,x)(5,5)(µ,µ)
Symmetrie
R2 = (x,x)(5,5)(µ,µ) (µ,5) (5,µ) od. R1 (µ,5) (5,µ)
R3 = (x,x)(5,5)(µ,µ) (µ,5) (5,µ) (µ,x) (x,µ) od. R2 (µ,x) (x,µ)
R4 = (x,x)(5,5)(µ,µ) (µ,5) (5,µ) (µ,x) (x,µ) (5,x) (x,5) od. R3 (5,x) (x,5)
Transitivität (den Schritt verstehe ich nicht ganz)
R5 = (x,x)(5,5)(µ,µ) (µ,5) (5,µ) (µ,x) (x,µ) (5,x) (x,5) (µ,x)(x,µ)(5,x)(x,5) od. R4 (µ,x)(x,µ)(5,x)(x,5)
Warum kommt hier nochmal (µ,x)(x,µ)(5,x)(x,5) hinzu? Das ist doch schon enthalten?!
"Die Menge aller (geordneten) Paare von zueinander äquivalenten Elementen bildet eine Teilmenge von M²."
Diese Aussage würde doch auch nur für R4 zutreffen oder?! Denn R5 wäre schon zu groß oder wie ist das zu verstehen?
Sind die Paare als ELEMENTE zu verstehen?! Dann wäre bei R5 die doppelte Aufzählung dann ja auch irrelevant weil in Mengen
ja nicht die Anzahl der Elemente zählen bzw. die Anordnung sondern nur das Vorkommen!?
Und warum gibt es 5 Äquivalenzrelationen?! (In der Lösung steht 5) Wenn es heißt: "Besitzt eine Teilmenge von M² diese Eigenschaften, so heißt sie Äquivalenzrelation."
Nur R4 bzw. R5 (wobei ich diese noch nicht ganz verstehe) würde diese Eigenschaften ALLE besitzen?!
Da steht als Erklärung:
"Sei eine beliebige Menge M gegeben."
Das angewandt auf Bsp 1.10 von Seite 5 ergibt:
D = {µ,5,x}
"Dann kann man eine Klasseneinteilung dieser Menge (jedes Element von M muß in einer Klasse enthalten sein, je zwei verschiedene Klassen haben kein Element gemeinsam, keine Klasse ist leer) bilden und je zwei Elemente x,y äquivalent nennen (symbolisch x ~ y), die in derselben Klasse enthalten sind."
hä?! Klasseneinteilung?! Wie und warum?!
"Die Menge aller (geordneten) Paare von zueinander äquivalenten Elementen bildet eine Teilmenge von M². Diese Teilmenge besitzt folgende Eigenschaften:
x ~ x für alle x € M (Reflexivität)
falls x ~ y ist, so gilt auch y ~ x (Symmetrie),
wenn x ~ y und y ~z, so ist x ~ z (Transivität).Besitzt eine Teilmenge von M² diese Eigenschaften, so heißt sie Äquivalenzrelation. Sie definiert eindeutig eine Klasseneinteilung und umgekehrt. Allgemein heißt jede Teilmenge von M² Relation auf der Menge M."
Das heißt auf das Beispiel 1.10, Seite 5 angewandt:
D = {µ,5,x}
Reflexivität
R1 = (x,x)(5,5)(µ,µ)
Symmetrie
R2 = (x,x)(5,5)(µ,µ) (µ,5) (5,µ) od. R1 (µ,5) (5,µ)
R3 = (x,x)(5,5)(µ,µ) (µ,5) (5,µ) (µ,x) (x,µ) od. R2 (µ,x) (x,µ)
R4 = (x,x)(5,5)(µ,µ) (µ,5) (5,µ) (µ,x) (x,µ) (5,x) (x,5) od. R3 (5,x) (x,5)
Transitivität (den Schritt verstehe ich nicht ganz)
R5 = (x,x)(5,5)(µ,µ) (µ,5) (5,µ) (µ,x) (x,µ) (5,x) (x,5) (µ,x)(x,µ)(5,x)(x,5) od. R4 (µ,x)(x,µ)(5,x)(x,5)
Warum kommt hier nochmal (µ,x)(x,µ)(5,x)(x,5) hinzu? Das ist doch schon enthalten?!
"Die Menge aller (geordneten) Paare von zueinander äquivalenten Elementen bildet eine Teilmenge von M²."
Diese Aussage würde doch auch nur für R4 zutreffen oder?! Denn R5 wäre schon zu groß oder wie ist das zu verstehen?
Sind die Paare als ELEMENTE zu verstehen?! Dann wäre bei R5 die doppelte Aufzählung dann ja auch irrelevant weil in Mengen
ja nicht die Anzahl der Elemente zählen bzw. die Anordnung sondern nur das Vorkommen!?
Und warum gibt es 5 Äquivalenzrelationen?! (In der Lösung steht 5) Wenn es heißt: "Besitzt eine Teilmenge von M² diese Eigenschaften, so heißt sie Äquivalenzrelation."
Nur R4 bzw. R5 (wobei ich diese noch nicht ganz verstehe) würde diese Eigenschaften ALLE besitzen?!