wolti
16-01-2003, 23:22
Das ist ein bisschen ungewohnt, scheint aber zu funktionieren. Wir haben eine folge an definiert als
an = 1/(n^2 + 1) + 1/(n^2 + 2) + ... + 1/(n^2 + 3).
Wir sollen zwei folgen finden, so daß gilt.
bn <= an <= cn
1) cn.. Wir wollen eine Folge finden, die ein bisschen größer ist als unsere Folge und von der wir den Grenzwert kennen. Das tolle ist nämlich. Haben wir zwei Folgen und wir kennen den Grenzwert und die eine Folge liegt dazwischen, so kennen wir den Grenzwert der Folge wo dazwischen liegt ... Das "Sandwich" Prinzip wo uns der Baron heute so lustig erklärt hat.
cn = 1/n^2 + ... 1/n^2 (Und das n mal). Wir können sicher sagen, dass diese Folge größer ist, da ja bei der anderen Folge unten noch durch was größeres dividiert wird. Da ich n * die gleichen Faktoren habe gilt nun.
cn = n * 1/n^2 = 1/n
cn -> 0
2) bn = <0>.. Wähle man als Nullfolge. Stimmt sicher, da diese Folge sicher kleiner ist als unsere Folge an. Nun haben wir:
bn <= an <= cn und wir wissen bn konvergiert gegen 0 und cn konvergiert gegen 0. an kann, da es gesandwicht ist auch nur gegen 0 konvergieren.
Grüße,
Wolti
an = 1/(n^2 + 1) + 1/(n^2 + 2) + ... + 1/(n^2 + 3).
Wir sollen zwei folgen finden, so daß gilt.
bn <= an <= cn
1) cn.. Wir wollen eine Folge finden, die ein bisschen größer ist als unsere Folge und von der wir den Grenzwert kennen. Das tolle ist nämlich. Haben wir zwei Folgen und wir kennen den Grenzwert und die eine Folge liegt dazwischen, so kennen wir den Grenzwert der Folge wo dazwischen liegt ... Das "Sandwich" Prinzip wo uns der Baron heute so lustig erklärt hat.
cn = 1/n^2 + ... 1/n^2 (Und das n mal). Wir können sicher sagen, dass diese Folge größer ist, da ja bei der anderen Folge unten noch durch was größeres dividiert wird. Da ich n * die gleichen Faktoren habe gilt nun.
cn = n * 1/n^2 = 1/n
cn -> 0
2) bn = <0>.. Wähle man als Nullfolge. Stimmt sicher, da diese Folge sicher kleiner ist als unsere Folge an. Nun haben wir:
bn <= an <= cn und wir wissen bn konvergiert gegen 0 und cn konvergiert gegen 0. an kann, da es gesandwicht ist auch nur gegen 0 konvergieren.
Grüße,
Wolti