Bsp 259

[wolti]

Ein relativ schweres Beispiel meiner Meinung nach, oder hat jemand hier einen besseren und einen einfacheren Weg gefunden um eine Lösung zu erhalten ?

an = sqrt(n + 1) - sqrt(n)

1) Ich hebe sqrt(n) heraus.

an = (sqrt(n)/(sqrt(n)) * (sqrt(n + 1) - sqrt(n))

Ist ja sicher noch richtig, da sich ja die neue Wurzel wo ich dazugefügt habe sofort kürzen würde wenn ich möchte. Nun mache ich mir folgendes zugute !

sqrt(a) * sqrt(c + d) = sqrt( a * (c + d)) (Wer es nicht glaubt -> Es stimmt auf jedenfall)

an = ( sqrt(n^2 + n) - sqrt(n^2) ) / (sqrt(n)) = (sqrt(n^2 + n) - n) / (sqrt(n))

2) Ich kann immer noch nichts damit anfagen. Ich multipliziere den ganzen Bruch oben und unten mit sqrt(n^2 + n) + n und mache mir zugute, dass gilt (a+b) * (a-b) = a^2 - b^2

an = (n^2 + n - n^2) / (sqrt(n) * (sqrt(n^2 + n) + n) )

3) Ich multipliziere unten einmal aus

an = n / ( sqrt(n^3 + n^2) + sqrt(n)*n )

4) Ich schreibe statt sqrt n n^(1/2) damit es besser sieht.

an = n / ( n^(1/2) * n + sqrt(n^3 + n^2) )

mit n^(1/2)*n = n^(3/2)

an = n / ( n^(3/2) + sqrt(n^3 + n^2 ) )

5) Ich dividiere oben und unten durch die größte Potenz ! (n^(3/2))

an = ( n / n^(3/2) ) / ( 1 + sqrt(n^3 + n^2)/n^(3/2) )

an = ( 1/sqrt(n) ) / ( 1 + sqrt(n^3 + n^2)/sqrt(n^3) )

an = (1/sqrt(n) ) / ( 1 + sqrt(1 + 1/n) )

an = P(n) / Q(n)

P(n) -> 0
Q(n) -> 2 (Kann man leicht prüfen, ich schreibt nicht extra hin. Der 1 ist klar und sqrt ( 1 + 1/n ) konvergiert auch gegen 1 -> 1 + 1 =2

<an> -> 0

Hat das jemand irgendwie cooler lösen können ?

Grüße,
Wolti

[Bug]

Hier stand nur Unsinn!!
:-(

[wolti]

@Bug

Wo stand Unsinn.. Solltest du einen Fehler gefunden habe wäre ich froh wenn du mich daran teilhaben läßt. Gut möglich dass man sich bei diesem Gewurschtel verrechnet hat.

Grüße,
Wolti

[WeirdAI]

Hi!

Also, ich habs mir nur so überlegt...

(sqrt(n+1) - sqrt(n))

Im Grunde sieht man ja, dass, wenn n-> unendl. geht, der 1er immer mehr an Bedeutung verliert...

=> sqrt(n) - sqrt(n) = 0
------------------------------

Rechnerisch würde ich es einfach so begründen...

P(n) = sqrt(n+1) - sqrt(n)
Q(n) = 1

Dann kann ich wie sonst auch durch die höchste Pozenz von n dividieren...
hier (sqrt(n))

ich hab dann sqrt(n+1) / sqrt(n) - sqrt(n) / sqrt(n)

das entspricht sqrt(n/n + 1/n) - sqrt(n/n)

was wiederum sqrt(1+1/n) - sqrt(1) entspricht

Fazit: sqrt(1) - sqrt(1) = 0

Alex

[wolti]

WeirdAI:

Du berechnest also den lim P(N)/Q(N) in deinem Fall, wobei Q(N) bei dir 1 ist, liege ich da richtig ? und machst dir zuhilfe, dass:

lim P(N)/Q(N) = lim P(N) / lim Q(N) ist, richtig.

Das gilt aber nur, wenn Q(N) ungleich 0 ist, für fast alle n e N. Du dividierst aber durch die höchste Potenz durch. Dann hast du ja das Problem, dass Q(N) gegen 0 konvergiert und du daher diese Methode nicht mehr verwenden darst.

Bsp:

Sei an = (n + 1) -n

Ich setze an nach deinem Theorem:
P(n) = n + 1
Q(n) = 1

Ich dividiere durch die höchste Potenz (n^1)
P(n) = 1 + 1/n
Q(n) beachte ich nicht.

P(n) -> 1 Ich folgere also daraus.

lim an = 1 (Ist aber sicher falsch). Oder wie hast du das Problem mit dem Q(n) welches unter dem Bruch steht dann in den Griff bekommen ?

Grüße,
Wolti

[WeirdAI]

Ähm stimmt...
Ich hab das ganze als Bruch mit Nenner 1 angeschrieben, jedoch dann nur mit dem Zähler weitergerechnet...
Somit ists falsch ;)

Hm, aber die Überlegung, die ich oben mache müsste doch irgendwie stimmen, oder?
Von wegen (sqrt(1+n) - sqrt(n)) = 0
weil n -> unendl... und 1 somit die Bedeutung verliert, oder?

Alex

[wolti]

Ja.. Die passt sicher, weil es ja gegen 0 konvergiert. Die Frage ist ob sowas mathematisch genug ist fuer unseren Prof. ist.

[WeirdAI]

Ich denke schon... zumindest beim Urbanek... wenst dem erklärst, dass des eh Hausverstand ist ;)

Beim Baron könnte es schon anders aussehen...

Alex

[WeirdAI]

Muss nochmal nachhaken...

wegen deinem Gegenbeispiel oben:


Sei an = (n + 1) -n

Ich setze an nach deinem Theorem:
P(n) = n + 1
Q(n) = 1

Ich dividiere durch die höchste Potenz (n^1)
P(n) = 1 + 1/n
Q(n) beachte ich nicht.

P(n) -> 1 Ich folgere also daraus.

lim an = 1 (Ist aber sicher falsch). Oder wie hast du das Problem mit dem Q(n) welches unter dem Bruch steht dann in den Griff bekommen ?


Es stimmt zwar, wie dus oben gesagt hast, dass der Nenner dann gegen 0 geht, hier jedoch eine Überlegung...

lim ((n+1) -n) = 1
da sich ja n-n aufhebt und die Folge sozusagen = 1 ist... also ist eigentlich ja doch richtig...

edit: Obwohl das sicher zufall ist...

Alex

[wolti]

Ja.. Stimmt.. Jetzt haben wir ein falsches Gegenbeispiel. Ist aber sicher Zufall wie du richtig gesagt hast.

[Xellos]

warum geht ihr nicht beim original schon auf n gegen unendlich?

dann ist an=sqrt(inf+1)-sqrt(inf)

inf+beliebig=inf.
also sqrt(inf)-sqrt(inf), was im wesentlichen inf-inf ergibt, und hausverstandmässig(da unsere inf's ja in der folge komplett ident sind) 0. :P
bin ich so blöd oder mach ich's mir zu leicht? (ja, ich mach das grad im schnelldurchlauf 5 minuten/beispiel :P habt nachsicht :P)

[WeirdAI]

ja, das hab ich dann ja eh gemacht... (siehe oben)

Alex