Konvergenz einer Folge (Rekursiv)

[wolti]

Hallo,

Hat jemand eine Idee dazu ? Ich weiss zwar wie ich auf den exakten Grenzwert erhalte, kann es allerdings nicht beweisen. Nehmen wir an:

<an> sei einer rekursive Folge, definiert durch.

a0=3
a{n+1}=sqrt(-an + 5)

Der Ansatz zum ermitteln des Grenzwertes lautet also (Da falls a ein Grenzwert ist an gegen a, oder halt |an -a | < e fuer n > N(e) ist)
koennte man folgende Ansatz wagen.

a = sqrt(-a+5)
a²= -a + 5
a² + a -5 = 0 > Loesen von Quadratischer Gleichung)
Loesen nach a und man erhaelt fuer diese Folge den passen Grenzwert (Sofern er existiert, bei unserem Beispiel geht das, also das fuer usere Uebung). Nun aber die entscheidende Frage. Wie kann man das mit unserem gelernten Stoff ermitteln, bzw. welche Gesetze brauche ich, damit ich sagen kann, dass es so passt. Wir kennen naemlich.

1) Produkt, Summe zweier Nullfolgen bleibt
Nullfolge

2) Produkt einer konvergenten Folge und einer Nullfolge wird eine Nullfolge.

3) Konvergente Folge <an>
<an - a +a> = <an-a> + <a>
Konstante Folge + Nullfolge -> Grenzwert also a.

Und noch viele mehr. Koennen wir mit unseren Mitteln diesen obigen Satz irgendwie beweisen ? Die anderne Beweise mit Induktion und einer Kugelumgebung für die beschränkt sind leicht.

Grüße,
Wolti

[psycho]

naja also erstens kann man einfach so die monotonie beweisen?

wenn ich jetzt hab: a0=4, an+1=sqrt(6an-9)

sqrt(6an-9)<an
sqrt(6sqrt(6an-9)-9)<sqrt(6an-9)

da sqrt(6an-9)<6an, stimmt das?

bezüglich des grenzwertes kann ich nur sagen, dass das stimmt, was du sagst, auf weiteres bon ich auch nicht gekommen

btw: dank eprog hab ich so ein tolles programm, dass den grenzwert approximieren kann ;) obs was bringt, ist eine andere frage, aber...

public class rec
{

static double w=4;


public static void main(String args[])
{
for (int i=0;i<1000000000;i++)
{
w=recfolge(w);
if ((i%100000)==0)
System.out.println(w);
}
}


public static double recfolge(double wert)
{
double a=0;
a=Math.sqrt(6*wert-9); // hier die funktion einsetzen...
return a;
}
}


ist zwar nicht das musterbeispiel an professionalität, aber was solls, funktionieren tuts glaub ich (so halbwegs halt) ;)
man muss nur die funktion und den startwert anpassen...