floevents
14-01-2003, 11:59
bitte kommentare zu diesem lösungsansatz:
angabe:
Man zeige, dass die Folge an konvergiert, indem man zu beliebigem e (epsilon) > 0 ein N(e) angebe:
an= (sin n - cos n) / sqrt(n)
erstmal muss man wissen gegen welchen Wert an konvergiert, das kann man aber leicht einsehen, denn der Zähler verhält sich periodisch (bleibt also in einem bestimmten Wertebereich) und der Nenner wächst über jede Grenze hinaus. Deswegen konvergiert die Folge gegen Null.
Dann setzt man an:
|(sin(n)-cos(n))/sqrt(n) - 0| < e
|(sin(n)-cos(n))/sqrt(n)| < e
das muss man jetzt irgendwie umformen, sodass man eine verlässliche Aussage über n in Abhängigkeit von e machen kann. Ertsmal quadrieren:
(sin(n)-cos(n))²/n <e²
sin²(n)-2sin(n)cos(n)+cos²(n) < e²n
1 - 2sin(n)cos(n) < e²n
(1-2sin(n)cos(n)/ e² < n
jetzt kann man sich überlegen, dass sin(n)cos(n) sich periodisch in einem bestimmten Werteintervall aufhält, und den Wert ±3 zum Beipspiel für kein n überschreitet(bzw. unterschreitet). Also nimmt man den "schlimmsten" Fall an, und setzt:
(1-2*(-3))/e² < n
5/e² < n
womit man ein n gefunden hätte, für dass die Bedingung erfüllt ist, und so ist die Konvergenz der Folge gezeigt.
angabe:
Man zeige, dass die Folge an konvergiert, indem man zu beliebigem e (epsilon) > 0 ein N(e) angebe:
an= (sin n - cos n) / sqrt(n)
erstmal muss man wissen gegen welchen Wert an konvergiert, das kann man aber leicht einsehen, denn der Zähler verhält sich periodisch (bleibt also in einem bestimmten Wertebereich) und der Nenner wächst über jede Grenze hinaus. Deswegen konvergiert die Folge gegen Null.
Dann setzt man an:
|(sin(n)-cos(n))/sqrt(n) - 0| < e
|(sin(n)-cos(n))/sqrt(n)| < e
das muss man jetzt irgendwie umformen, sodass man eine verlässliche Aussage über n in Abhängigkeit von e machen kann. Ertsmal quadrieren:
(sin(n)-cos(n))²/n <e²
sin²(n)-2sin(n)cos(n)+cos²(n) < e²n
1 - 2sin(n)cos(n) < e²n
(1-2sin(n)cos(n)/ e² < n
jetzt kann man sich überlegen, dass sin(n)cos(n) sich periodisch in einem bestimmten Werteintervall aufhält, und den Wert ±3 zum Beipspiel für kein n überschreitet(bzw. unterschreitet). Also nimmt man den "schlimmsten" Fall an, und setzt:
(1-2*(-3))/e² < n
5/e² < n
womit man ein n gefunden hätte, für dass die Bedingung erfüllt ist, und so ist die Konvergenz der Folge gezeigt.