wolti
10-01-2003, 19:15
Man zeige das die Folge an = sin(n)/n (n >= 1) nur 0 als HP hat.
Beweis durch Gegenbeweis:
Sei b HP und B ungleich 0. D.h. es muessen in jeder Kugelumgebung von K(B,ε ) unendlich viele Element von an liegen.
Sei ε ∈ R, ε > 0
K(b,ε ) = { an | d(b,an) < ε }
an ist also ein Element der Kugelumgebung, wenn der Betrag von an - b kleiner ε ist.
|sin(n)/n -b | < ε
b war ungleich 0, sei nun b als Beispiel b/2 (Egal was ich nehme, da ich ja nur einen Gegenbeweis führe).
sin(n)/n muss nun also zwischen b/2 und 3*b/2 liegen.
b/2 < sin(n)/n < 3*b/2. Man sieht sofort, dass fuer b ungleich 0 nur endlich viele vorkommen können, da sin(n)/n nur eine endlich lange Anzahl ans haben kann die Größer als b/2 sind (Da er ja mit 1/n sinkt).
--> Kann keinen anderen HP geben !
Beweis durch Gegenbeweis:
Sei b HP und B ungleich 0. D.h. es muessen in jeder Kugelumgebung von K(B,ε ) unendlich viele Element von an liegen.
Sei ε ∈ R, ε > 0
K(b,ε ) = { an | d(b,an) < ε }
an ist also ein Element der Kugelumgebung, wenn der Betrag von an - b kleiner ε ist.
|sin(n)/n -b | < ε
b war ungleich 0, sei nun b als Beispiel b/2 (Egal was ich nehme, da ich ja nur einen Gegenbeweis führe).
sin(n)/n muss nun also zwischen b/2 und 3*b/2 liegen.
b/2 < sin(n)/n < 3*b/2. Man sieht sofort, dass fuer b ungleich 0 nur endlich viele vorkommen können, da sin(n)/n nur eine endlich lange Anzahl ans haben kann die Größer als b/2 sind (Da er ja mit 1/n sinkt).
--> Kann keinen anderen HP geben !