Bsp 11

[Sharkal]

hier mein lösungsvorschlag:
die funktion mittels quotienten regel abgeleitet und nach ausrechnen der ausdrücke kommt dann raus f´(x)= (x^2-t) / (x-t)^2
da für monoton fallend f´(x) < 0 sein muss und f´(x) in unserem fall nur kleiner 0 sein kann, wenn x^2-t <0 ist , muss x < sqrt(t) sein, da ja
x(0) = 1 gegeben ist, heißt es also 1 < sqrt(t) und daher muss t > 1 sein, damit die funktion fallend ist.

ähm ja sieht für mich halbwegs logisch aus.
wie habt ihr es?

[alexxx]

ich hab was anderes:
f'(x) = (Z' N - Z N') /N² = (x²-2xt-t)/(x-t)²
einsetzen x=1:
f'(x) = (1-3t)/(1-t)² somit muss t >1/3 sein.

[wohlstandskind]

hab das auch so wie alexxx.. wie schauts aus mit skizze.. ich hasse skizzen :) wie sieht die bei euch aus?

[blueroot]

f'(x) = (1-3t)/(1-t)² somit muss t >1/3 sein.

Könntest du zeigen, wie du zum Ergebnis gekommen bist?
(Sorry, bin im Bereich Analysis noch ziemlich schwach.):(

[alexxx]

f'(x) = (1-3t)/(1-t)²
Erste Ableitung entspricht der Steigung, d.h. wenn die 1.Abl. < 0 ist die Kurve str.m.f. somit muss (1-3t)/(1-t)² < 0 sein, daraus ergibt sich, dass t>1/3 sein muss (Zähler).

[blueroot]

somit muss (1-3t)/(1-t)² < 0 sein, daraus ergibt sich, dass t>1/3 sein muss (Zähler).

Soweit habe ich es schon verstanden, ich meinte bloss ob du mir die Berechnung zeigen könntest, in der du von (1-3t)/(1-t)^2 < 0
zur t > 1/3 kamst

[wohlstandskind]

(1-3t)/(1-t)² < 0 /*(1-t)^2 (ist sicher positiv)
1-3t<0 /-1
-3t<-1 / /(-3)
t>1/3

so habs ich zumindest :)

[blueroot]

Alles klar. thx

[Triotex]

Ich und ein Kollege fragen uns gerade: was bedeutet jetzt eigentlich das x0=1 wirklich??? Könnte da einmal jemand kurz eine Beschreibung posten? Weil wir stehen hier mit folgender Skizze des Graphen an (für t wird 1/3 bei f(x) eingesetzt) - für x=0 gibt's nämlich kein y=1 :confused:

[wohlstandskind]

hmm.. mir gehts eigentlich ähnlich.. ich versteh zwar die rechnung, aber so richtig checken tu ichs eigentlich auch noch nicht

[Triotex]

Unsere Vermutung war ja auch einfach mal einsetzen. Und das stimmt ja dann auch irgendwie, zumindest kommt was raus und die undefinierten stellen sind auch drinnen in der skizze. nur das x0=1 macht uns Sorgen. Sollte übrigens wer Mac OS X haben: Sucht mal nach "Grapher" mit Spotlight --> seeeehr nützlich!

[Necrowizzard]

ah okay naja t darf nur t>1/3 und t!=1 sein, für welchen fall man jetzt die skizze zeichnen soll ist mir nicht ganz klar

die funktion ist an der stelle f(1) streng monoton fallend wenn eben diese bedingungen gelten bei t=1/3 sollte sie noch nicht streng monoton fallend sein

x0 ist ganz einfach nur die stelle in der funktion die streng monoton fallend sein muss also bei x=1 soll der graph nach unten gehn :P
(kann man sich übrigens auch schön am funktionsplotter ansehn)

ps: werde mal die funktion für 2 fälle oder sowas zeichnen
(wenn ich da überhaupt richtig liege)

[Triotex]

So, im Anhang die fertige Skizze mit mehreren t's!

[Asamandra]

(1-3t)/(1-t)² < 0 /*(1-t)^2 (ist sicher positiv)
1-3t<0 /-1
-3t<-1 / /(-3)
t>1/3

so habs ich zumindest :)

ähm klingt vermutlich blöd, aber mir ist nicht ganz klar wieso sich am ende das < zeichen plötzlich umkehrt..

[fuersti]

es gibt keine blöden Fragen, nur blöde Antworten und auf der Leitung steht jeder einmal :D ;)

also Schritt für Schritt:
ich multipliziere -3t < -1 mit (-1)
(Satz: Wenn c negativ ist und a > b, dann ist ac < bc und a / c < b / c)

3t > 1 und dividiere durch 3
(Satz: Wenn c positiv ist und a < b, dann ist ac < bc und a / c < b / c )

fertig :)

alles klar?

[Asamandra]

vielen dank ^^ jetz alles klar
sowas hatte ich schon vermutet - kann aber diese ganzen tollen sätzchen leider überhaupt nicht und steh dann immer doof da ^^

[Asamandra]

so jetzt hab ich aber doch noch eine frage:


(1-3t)/(1-t)² < 0 /*(1-t)^2 (ist sicher positiv)
1-3t<0 /-1
-3t<-1 / /(-3)
t>1/3


die erste zeile wo ihr 0 mit (1-t)^2 multipliziert, das ist doch keine äquivalenzumformung wieso darf ich das tun?

[fuersti]

@asamandra,

wieso sollte das keine äquivalenzumformung sein?

nachdem du weißt, dass (1-t)^2 immer positiv ist,
weißt du, dass sich dein Ungleichungszeichnis bei Multiplikation mit diesem Term nicht ändert, also multipliziert du beide Seiten deiner Ungleichung mit (1-t)^2

was solltst du da nicht dürfen?

mfg fuersti

[Asamandra]

achso ^^ ich bin mit den ungleichungen nicht ganz fit ^^ vielen dank für die erklärung ^^

[schaferl6]

Habs mir mal im Excel als Tabelle ausgerechnet u bin drauf gekommen das für t>1 positive Werte rauskommen (ergo schlecht *g*)

Weiß man das einfach? Darf aus irgendwelchen Gründen t nicht größer 1 sein? Welche Gründe wären das?

bin halt durch trail&error drauf gekommen.
daher würde ich es als 1>t>\frac{1}{3}

[Schakal]

Wie kommst du darauf? (1-3t)/(1-t)² ist bei t>1 nicht psotiv. Es gilt t>1/3 ^ t!=1.

mfg Schakal

[schaferl6]

sorry, mein Fehler
ich hatte die Formel falsch

\frac{1-3t}{(1-t^2)}

habs jetzt auf

\frac{1-3t}{(1-t)^2}

geändert und siehe da - es funktioniert :)

PS: Latex ist super *g*