wolti
01-01-2003, 20:53
Bei diesem Beispiel sollte man z e C bestimmen, und somit die Menge angeben, welche durch diese Ungleichung erfüllt ist. Ich habe als Lösung erhalten:
L1 = { z e C | Im(z) e R & [ Re(z) < 2 | Re(z) > 8 ])
L2 = { z e C | 2 <= Re(z) <= 8, Im(z)^2 > - Re(z)^2 + 10*Re(z) - 16}
L = L1 und L2 (Mengenund)
Lösungsansatz.
|(z+4)/(z-4)| < 3 -> Es gilt, dass |(a+ib)/(c+id)| = |a+ib|/|c+id| ist.
|z+4|/|z-4| < 3
|z+4|^2/|z-4|^2 < 9 mit N(z) = |z|^2 = z * z
#z=Re(z)+i*Im(z) --> Einsetzen.
|Re(z) + 4 + i*Im(z)|^2/|Re(z) - 4 + i*Im(z)|^2 = [ ( Re(z) + 4 + i*Im(z) ) * ( Re(z) + 4 - i*Im(z) ) ] / [ ( Re(z) - 4 + i*Im(z) ) * ( Re(z) - 4 - i*Im(z) ) ]
Man erhält nun:
[ (Re(z) + 4)^2 + Im(z)^2 ] / [ (Re(z) - 4)^2 + Im(z)^2 ]
( Re(z)^2 + 8*Re(z) + 16 + Im(z)^2 ) / (Re(z)^2 - 8*Re(z) + 16 + Im(z)^2 ) < 9
Re(z)^2 + 8*Re(z) + 16 + Im(z)^2 < 9*Re(z)^2 - 72*Re(z) + 9*16 + 9*Im(z)^2 ... Diese Multiplikation ist erlaubt, da der untere Ausdruck IMMER > 0 ist. Ansonsten hätten wir ja zwei Fälle (< Operator tauschen)
Wir subtrahieren den linken Teil und dividieren durch 8.
0 < Re(z)^2 - 10*Re(z) + 16 + Im(z)^2.
Es gibt nun zwei Fälle.
Fall1) Der Im(z) ist 0. Ein schlimmer Fall, da dann der Ausdruck klein ist. Wir bestimmen einmal die Schranken für Re(z)
Re(z)^2 - 10*Re(z) + 16 = 0 -> Re(1) = {2,8}. Liegt Re(z) auf dieser Schranke muss darf Im(z) gerade nicht so klein wie 0 sein (Da wir > und nicht >= haben), bzw auch größer natürlich. Wir erhalten den ersten Teil der Lösung.
L1 = { z e C | Im(z) e R & [ Re(z) < 2 | Re(z) > 8 ])
Fall2) Wir befinden uns in dieser Schranke welche wir oben ausgerechnet haben. Der Anteil welcher aus den Realteilen gebildet wird ist also < 0.
Re(z)^2 - 10*Re(z) + 16 < 0.
Wir müssen also einen Imaginärteil haben, da sonst die Gleichung nicht erfüllt wäre !. Er muss also sicher ein bisschen größer sein, also wie dieser Teil negativ ist. Es folgt.
Im(z)^2 > - Re(z)^2 + 10*Re(z) - 16
Wir haben die zweite Lösung.
L2 = { z e C | 2 <= Re(z) <= 8, Im(z)^2 > - Re(z)^2 + 10*Re(z) - 16}
L1 = { z e C | Im(z) e R & [ Re(z) < 2 | Re(z) > 8 ])
L2 = { z e C | 2 <= Re(z) <= 8, Im(z)^2 > - Re(z)^2 + 10*Re(z) - 16}
L = L1 und L2 (Mengenund)
Lösungsansatz.
|(z+4)/(z-4)| < 3 -> Es gilt, dass |(a+ib)/(c+id)| = |a+ib|/|c+id| ist.
|z+4|/|z-4| < 3
|z+4|^2/|z-4|^2 < 9 mit N(z) = |z|^2 = z * z
#z=Re(z)+i*Im(z) --> Einsetzen.
|Re(z) + 4 + i*Im(z)|^2/|Re(z) - 4 + i*Im(z)|^2 = [ ( Re(z) + 4 + i*Im(z) ) * ( Re(z) + 4 - i*Im(z) ) ] / [ ( Re(z) - 4 + i*Im(z) ) * ( Re(z) - 4 - i*Im(z) ) ]
Man erhält nun:
[ (Re(z) + 4)^2 + Im(z)^2 ] / [ (Re(z) - 4)^2 + Im(z)^2 ]
( Re(z)^2 + 8*Re(z) + 16 + Im(z)^2 ) / (Re(z)^2 - 8*Re(z) + 16 + Im(z)^2 ) < 9
Re(z)^2 + 8*Re(z) + 16 + Im(z)^2 < 9*Re(z)^2 - 72*Re(z) + 9*16 + 9*Im(z)^2 ... Diese Multiplikation ist erlaubt, da der untere Ausdruck IMMER > 0 ist. Ansonsten hätten wir ja zwei Fälle (< Operator tauschen)
Wir subtrahieren den linken Teil und dividieren durch 8.
0 < Re(z)^2 - 10*Re(z) + 16 + Im(z)^2.
Es gibt nun zwei Fälle.
Fall1) Der Im(z) ist 0. Ein schlimmer Fall, da dann der Ausdruck klein ist. Wir bestimmen einmal die Schranken für Re(z)
Re(z)^2 - 10*Re(z) + 16 = 0 -> Re(1) = {2,8}. Liegt Re(z) auf dieser Schranke muss darf Im(z) gerade nicht so klein wie 0 sein (Da wir > und nicht >= haben), bzw auch größer natürlich. Wir erhalten den ersten Teil der Lösung.
L1 = { z e C | Im(z) e R & [ Re(z) < 2 | Re(z) > 8 ])
Fall2) Wir befinden uns in dieser Schranke welche wir oben ausgerechnet haben. Der Anteil welcher aus den Realteilen gebildet wird ist also < 0.
Re(z)^2 - 10*Re(z) + 16 < 0.
Wir müssen also einen Imaginärteil haben, da sonst die Gleichung nicht erfüllt wäre !. Er muss also sicher ein bisschen größer sein, also wie dieser Teil negativ ist. Es folgt.
Im(z)^2 > - Re(z)^2 + 10*Re(z) - 16
Wir haben die zweite Lösung.
L2 = { z e C | 2 <= Re(z) <= 8, Im(z)^2 > - Re(z)^2 + 10*Re(z) - 16}