wolti
01-01-2003, 18:51
Hallo miteinander.. Hoffe ihr habts das neue Jahr auch gut gestartet.
In diesem Beispiel ist die Streckensymetrale gesucht, also die Menge jener Punkte, die von den Punkten A,B den gleichen Abstand haben. Ich habe als Lösung erhalten:
L1 = {(x1,x2) | x1 = -x2 + 3/2 & 0 <= x2 <= 1}
L2 = {(x1,x2) | x1 = 1/2, x2 > 1}
L3 = {(x1,x2) | x1 = 3/2, x2 < 0}
Der Ansatz der Lösung war wie folgt.
Gegeben waren die Punkte.
A=(0,0) = (a1,a2), B=(2,1)=(b1,b2)
Eine Metrik d auf R^2:
d((x1,x2),(y1,y2))=|x1 - y1| + |x2 -y2|
Es muss gelten für die Lösungsmenge (x1,x2) e L.
d1=d((0,0),(x1,x2))=|x1| + |x2|
d2=d((2,1),(x1,x2))=|2-x1| + |1-x2|
d1 = d2 (Bedinung für gleichen Abstand)
Wir erhalten also die Gleichung:
|x1| + |x2| = |2-x1| + |1-x2|
Wir haben in dieser Gleichung ein paar Fälle wo das Betragszeichen etwas ausmacht, nämlich |2-x1| und |1-x2|.
F1: x1 >= 0 und x1 <= 2. Es kann nun die Gleichung schon etwas aufgelöst werden, da ein paar Teile schon > 0 sind !.
x1 + |x2| = 2 - x1 + |1-x2|
-2 + 2x1 = |1-x2| - |x2|
F1':
x2 >= 0 und x2 <= 1
-2 + 2x1 = 1-x2 - x2
=> x1 = -x2 + 3/2
F2'':
x2 > 1
Hier muss für den Betrag das Ergebniss gleich schon umgedreht werden. |1-x2| = x2 - 1 !
-2 + 2x1 = x2 - 1 - x2
x1 = 1/2 , x2 > 1
F3''
x2 < 0
Wie oben. Bei den Beträgen aufpassen.
-2 + 2x1 = 1 + x2 - x2
x1 = 3/2, x2 < 0
Hoffe es ist kein Fehler aufgetaucht. Wenn man diese Funktionen zeichnet schaut es eigentlich ganz okay aus wenn man den Abstand mit der obigen Metrik misst. Habts ihr auch dieses Ergebniss ?
Grüße,
Wolti
PS: Die anderen Fälle für x1 braucht man in diesem Fall nicht --> Es gibt keine Lösung für sie, da x1 rausfällt und für x2 eine ungleichung dasteht.
In diesem Beispiel ist die Streckensymetrale gesucht, also die Menge jener Punkte, die von den Punkten A,B den gleichen Abstand haben. Ich habe als Lösung erhalten:
L1 = {(x1,x2) | x1 = -x2 + 3/2 & 0 <= x2 <= 1}
L2 = {(x1,x2) | x1 = 1/2, x2 > 1}
L3 = {(x1,x2) | x1 = 3/2, x2 < 0}
Der Ansatz der Lösung war wie folgt.
Gegeben waren die Punkte.
A=(0,0) = (a1,a2), B=(2,1)=(b1,b2)
Eine Metrik d auf R^2:
d((x1,x2),(y1,y2))=|x1 - y1| + |x2 -y2|
Es muss gelten für die Lösungsmenge (x1,x2) e L.
d1=d((0,0),(x1,x2))=|x1| + |x2|
d2=d((2,1),(x1,x2))=|2-x1| + |1-x2|
d1 = d2 (Bedinung für gleichen Abstand)
Wir erhalten also die Gleichung:
|x1| + |x2| = |2-x1| + |1-x2|
Wir haben in dieser Gleichung ein paar Fälle wo das Betragszeichen etwas ausmacht, nämlich |2-x1| und |1-x2|.
F1: x1 >= 0 und x1 <= 2. Es kann nun die Gleichung schon etwas aufgelöst werden, da ein paar Teile schon > 0 sind !.
x1 + |x2| = 2 - x1 + |1-x2|
-2 + 2x1 = |1-x2| - |x2|
F1':
x2 >= 0 und x2 <= 1
-2 + 2x1 = 1-x2 - x2
=> x1 = -x2 + 3/2
F2'':
x2 > 1
Hier muss für den Betrag das Ergebniss gleich schon umgedreht werden. |1-x2| = x2 - 1 !
-2 + 2x1 = x2 - 1 - x2
x1 = 1/2 , x2 > 1
F3''
x2 < 0
Wie oben. Bei den Beträgen aufpassen.
-2 + 2x1 = 1 + x2 - x2
x1 = 3/2, x2 < 0
Hoffe es ist kein Fehler aufgetaucht. Wenn man diese Funktionen zeichnet schaut es eigentlich ganz okay aus wenn man den Abstand mit der obigen Metrik misst. Habts ihr auch dieses Ergebniss ?
Grüße,
Wolti
PS: Die anderen Fälle für x1 braucht man in diesem Fall nicht --> Es gibt keine Lösung für sie, da x1 rausfällt und für x2 eine ungleichung dasteht.