Beispiel 235

[DaScheff]

A=({xER|0<x<1}\{1/2}u{xEQ|1<x<2}u{3}

Was ist mit \ gemeint? Wird hier 1/2 aus R ausgeschlossen oder wie ist das zu verstehen???

Hat wer einen lösungsansatz?

[Judas42]

genau so ists gemeint
noch kein lösungsansatz, bin aber in der DO-Gruppe (wir haben Beispiel 234)

[sebus]

Hmm, also ich beiss mir auch grad die Zähne an diesem Beispiel aus.

Was hier zu berechnen ist ist mir klar, nur wie berechne ich zum Beispiel den Radius der Kugelumgebung welche nur innere Punkte beinhaltet, also die Menge der Punkte welche so eine Kugelumgebung besitzen also A° ?

K(x,r) = {y e R | d(x,y) < r}

und für d(x,y) Euklidische Metrik, also d(x,n) = ||x-n|| = sqrt(Summe (xi-yi)²) wobei bei uns ja n = 1 also nur ein sqrt((x-y)²) vorhanden ist.

Meine Frage ist nun, wie man diese eine Kugelumgebung berechnet, welche als Mittelpunkt einen Punkt der uns gegebenen Menge besitzt, irgendeinen Radius hat, und somit die Bedingung für eine Kugelumgebung erfüllt, ohne dass die Euklidische Metrik (mit unserem Punkt x und irgendeinem y-Wert welcher ja alles aus ganz R sein kann) grösser gleich r also dem Radius den wir woher auch immer bekommen überschreitet ?

Mir kommt vor, es kann gar keinen Radius geben, der garantiert, dass egal welchen Wert wir für y aus R einsetzen, stets die Bedingung erfüllt, dass sqrt((x-y)²)<r ist.
Versteht jemand was ich meine? Ich weiss echt nicht, wie das gehen soll.

[psycho]

also meine glorreiche ;) theorie zum dem thema ist:


dass

A° = ]0,1/2[ u ]1/2,1[ u ]1,2[

Rd A = {1/2} u {1} u {3}

Äußeres = R - ( A°-Rd A)

Abschluß = [0,2] u {3}

hab aber nüsse ahnung, ob das auch stimmt, vielleicht weiß ja wer was

[sebus]

Hi psycho!

Hast du vielleicht Zeit kurz zu schildern wie du auf deine Ergebnisse kommst? Ich hab nämlich leider keine Ahnung wie man da rechnen soll.
Danke,
Seb

[ugi]

Wär echt nett wennst A° und Rd A erklären könntest.

Beim Äußeren von A stimm ich dir voll zu.
Und vorausgesetzt dass A° und Rd A stimmen würde ich zu folgendem kommen, da der Abschluß ja A° u Rd A ist (oder lieg ich da falsch?):
Abschluß A= ]0,2[ u {3}

[psycho]

also erstens denke ich jetzt


A° = ]0,1/2[ u ]1/2,1[

Rd A ={0} u {1/2} u [1,2] u {3}

Äußeres = R - ( A°-Rd A)

Abschluß = [0,2] u {3}

also die bedingungen stehn eh auf seite 179

also A° ist alles außer Randpunkte in R (also z.b 0), weil Randpunkte immer auch andere punkte inkludieren, wenn man eine kugelumgebung mit r>0 macht.

Rand sind erstens die Randpunkte sowie gemäß meiner neuen theorie auch die punkte, die in Q sind, weil es in Q immer punkte gibt, die "draußen" sind, nämlich reelle Zahlen, die ja nicht in Q sind

ob das stimmt, ist eine andere frage ;)

[sebus]

Hi!
Wow, bin ich blöd - wollt grad an Roman schreiben um zu erklären was ich nicht check und wärenddessen ging mir das Licht auf :D
Danke jedenfalls an psycho, durch deine Hilfe check´s sogar ich irgendwann :)

[chiefhoerbi]

Also ich hab die einzelnen Werte auf einen Zahlenstrahl eingetragen und dann folgende Ergebnisse herausbekommen.

A° ({xeR|0<x<1}\{1/2}) u {xeQ|1<x<2}
RdA {0,1/2, 1,2,3}
A {XeR|0<=x<=2} u {3}

Kann ich das auch so lösen, kommt mir etwas zu leicht vor.

[sebus]

Noch eine kleine Frage. Bei der Definition der Kugelumgebung steht, dass der Radius r e R+ ist/ sein muss. Beinhaltet R+ denn eigentlich {0}? Eher nicht, oder?
Wenn schon, dann wäre jeder Randpunkt auch innerer Punkt da man eine Kugelumgebung mit dem Radius r=0 "aufspannen" könnte.

[psycho]

der radius muss schon r>0 sein, sonst hätte das nicht viel sinn, hat der baron (glaub ich) eh in der vorlesung gesagt,

[stonie20]

also ich komme auf

A°= ]0, 1/2[ u ]1/2, 1[
Rd(A)= {0, 1/2, 3} u {xeQ|1<=x<=2}
Abschluss= [0, 2] u {3}

frage: ist der abschluss jetzt A° u Rd(A) oder A u Rd(A) (so stehts im beispiele-skript)???

@psycho: bist du dir sicher, dass das ganze intervall [1, 2] eR zum Rd gehört?? oder doch nicht nur die elemente des intervalls in Q????

[Gilmir]

Hallo,

Also, ich war zwar längere Zeit nicht in den Vorlesungen, aber nach dem, was ich aus dem Buch rausgelesen habe, dürfte {3} nicht zu den Randpunkten und damit auch nicht zum Abschluß gehören.

Das, weil in den "näheren" Kugelumgebungen nur Punkte der Komplimentärmenge enthalten sind. (Da ich davon ausgehe, daß r>0 sein soll, darf man ja 3 nicht dazuzählen).

Bye,

Gilmir

[sebus]

Aber dann ist nach dir @stonie20 doch auch der Abschluss nicht [0, 2] u {3} sondern

[0,1] u {x e Q | 1<= x <= 2} u {3}

oder?

[stonie20]

@sebus: stimmt auch wieder...
aber was ist nun korrekt??