Havoc
18-12-2006, 03:42
Eine periodische Dreiecksschwingung erhalten wir durch
\Lambda(x) = |x| -\pi < x \leq \pi
diese funktion is gerade, das heißt alle sinus-terme werden null:
für den DC-Wert erhalten wir also:
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}~|x|~dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}~x~dx = \pi
für die restlichen koeffizienten bekommen wir:
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}~|x|cosnx~dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}~xcosnx~dx = \frac{2}{\pi}(\frac{cosn\pi}{n^2} - \frac{1}{n^2}) = \left\{\begin{array}{cl} 0, & n=ungerade\\
-\frac{4}{\pi n^2} , & n=gerade\end{array}
\right
damit kommen wir dann auf die geschlossene lösung der fourierreihe:
\Lambda(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum \frac{cos(2n-1)}{(2n-1)^2}x
\Lambda(x) = |x| -\pi < x \leq \pi
diese funktion is gerade, das heißt alle sinus-terme werden null:
für den DC-Wert erhalten wir also:
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}~|x|~dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}~x~dx = \pi
für die restlichen koeffizienten bekommen wir:
a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}~|x|cosnx~dx = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}~xcosnx~dx = \frac{2}{\pi}(\frac{cosn\pi}{n^2} - \frac{1}{n^2}) = \left\{\begin{array}{cl} 0, & n=ungerade\\
-\frac{4}{\pi n^2} , & n=gerade\end{array}
\right
damit kommen wir dann auf die geschlossene lösung der fourierreihe:
\Lambda(x) = \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum \frac{cos(2n-1)}{(2n-1)^2}x