View Full Version : [Frage] Bsp. 188
Mir kommt beim 188 Bsp. folgendes raus:
a < 6
Hat das nochwer? Bitte um Bestätigung/Dementi...!
cya'll...
wie kommst du auf diese Hausnummer?
Lt. meinen Aufzeichnungen und Berechnungen kommt da a > -2z(x+y)/(xy) raus...
Kann mir wer von euch erklären wie ihr das gerechnet habt?
mfg
@hal:
Ich hab die Gramsche Matrix aufgestellt mit den Koeffizienten der Gleichung. es kommt glaub ich sowas in der Art heraus:
/ 3 a/2 1 \
| a/2 2 1 |
\ 1 1 2 /
Die Matrix is leida häßlich geworden, aber man kann sichs vorstellen...
Und dann hab ich die Hauptminoren > 0 gesetzt. Und dann eben dieses Ergebnis (a<6)bekommen!
Hab I da was ganz falsch gemacht?
Weil du scheinst ja einen anderen Lösungsweg genommen zu haben oder du hast x,y,z auch als Koeff. betrachtet... das geht aber nicht, glaub ich...! I woas a net!
thx &cya, Sensei
bei dem Beispiel hab ich eigentlich auch keine Ahnung, mir war nicht klar wie ich von dieser Form auf eine Matrix kommen soll. Außerdem bin ich nachher draufgekommen dass ich da ein paar nicht erlaubte vereinfachungen vorgenommen hab, also vertrau ich dir da eher darauf dass du was sinnvolles hast :D
Jop die gramsche Matrix hab ich auch so
=>
ich hab als Lösungsmenge
{-1,0,1,2,3}
das sind die Lösungen der 3 Hauptminoren
wobei ich für die 2. -4<a<4
und für die 3. -2<a<4 rausbekomme
--> {-1,0,1,2,3}
sollte doch nicht so falsch sein odeR?
wieso drei hauptminoren?
Ich dachte es sind nur zwei...
1.: die 4 El. oben links
2.: alle 9 Elemente
Bitte um Erklärung, welches deine _3_ Hauptminoren sind!
ist nicht das eine oben im Eck auch eine Hauptminore???
ibins
...des kennt natürlich sein...
Hört sich vielleicht blöd an, aber wie komme ich auf die Grammsche Matrix?
@Crow:
Ist auf Seite 135 beschrieben.
kurz: Die Diagonalelemente der Matrix sind die Koeffizienten von x^2, y^2 und z^2. Die anderen Elemente der matrix sind die Koeffizienten der anderen Teile der angegebenen Gleichung.
Am besten du schreibst dir über die Spalten der (zuerst einmal leeren) 3x3 Matrix x y z hin.
Dann schreibst du auch vor die Zeilen (von oben nach unten x, y, z hin.
Und jetzt musst du nur mehr die Koeffizienten für jedes Glied der Matrix anschaun. Also z.B. Zeile x, Spalte y --> Element dort ist der Koeffizient von xy in der Gleichung.
@ibins:
Aber das Element links oben im Eck ist 3 und es bringt mir nicht besonders viel, 3 > 0 zu setzen.
Also belibt die Frage aufrecht:
WAS IST DIE DRITTE HAUPTMINORE (bzw. FMs: was hast du für 3 Minoren?!?)
Danke für den Hinweis. Aber das auf S. 135 ist doch ein wenig zu komplliziert für mich.
Das mit den Diagonalen habe ich verstanden. Aber wieso ist der Wert (x,y) a/2. Wäre das dann nicht einfach a?
Vielleicht kann mir das auch noch jemand erklären. Wär echt sehr erfreut.
...
...tschuldigung: alle Elemente, die nicht auf der hauptdiagonalen leigen, sind durch 2 zu teilen in der Matrix!!!
Vielen Dank!
Und jetzt muss man die Hauptminoren finden, die grösser als 0 sind, da sie dann positiv definit sind?
AU WEIA!!! Diese Erklärung im Buch ist doch etwas weit hergeholt oder denke ich wieder einmal viel zu kompliziert.
Ja ich hab die 3. (eigentlich 1.) Hauptminore als das Element a11 gemeint - ist ja schließlich auch Bedingung - wenn auch trivial - hier zumindest....... :D
Ich habe jetzt die Matrix, wie komme ich dann auf die Hauptminoren, bzw. auf das Ergebnis?
1. Hauptminore ist das element 11
2. eine 2x2 Matrix beginnend von 11 bis 22
3. 3x3 11 bis 33
Bildest von allen 3 die Determinante
bekommst dann 2 Ungleichungen
stellst a frei
und hast das erg.
so habs i mal gemacht.....
Abgesehen davon dass ich es nicht verstehe. Woher hast du das her, ich meine diese Angaben.
P.S. Wie schauts mit den Bsp. 222 und 223 aus. Sind die leichter oder? Ich mein, ich kann überhaupt nichts anfangen mit den Angaben und schön langsam bekomme ich Stress...
Vielleicht meldet sich wer
Seite 135 - steht wie man die Gramsche Matrix bekommt......
Und wann eine quad. Form pos. definit ist.......
bei 223 hab ich mal einen Ansatz:
X1 ist ja aus R, X2 aus R²
der Abstand d ist der Euklidische:
bei X1: d(x,y)=sqr((x-y)²)
X2: d(x,y)=sqr((x1-y1)² + (x2-y2)²)
Bei X=X1xX2
X1 entspricht ja einer geraden - in der Ebene der x - Achse
X2 entspricht einer Ebenen
Das paar X1xX2 wär dann ja eine parallele zu der y- Achse druch den Punkt x auf der x- Achse (oder??)
Der Abstand vom Paar (x,y) (x hier aus X1, y aus X2)
wär dann doch: d1(x,y1) , d2(x,y2)
Diese beiden könnte man dann addieren
od. das maximum von beiden
So hab ich mir das mal in meiner Mitschrift aufgeschrieben... (im Buch hab ichs noch nicht gefunden ......)
Eine Kugelumgebung wäre dann: K(P,r), wobei P aus X ist (ein bel. Punkt aus der parallelen zur y - Achse duch x) und r beliebig ist.
Also: K(P,r)={y|d(P,y)<r}
wobei d(P,y) bei mir die Summe von d1, d2 ist - viellciht kann man auch das Maximum nehmen.
Ich hätt mir das mal so zusammen gereimt - ich wart mal auf feedback - bitte nicht prügeln ;) :D
Ja, positiv definit genau dann wenn alle Hauptminoren positiv sind. Aber wo finde ich was die Hauptminoren sind.
Ich werd noch wahnsinnig. Vielleicht kannst du es mir etwas einfacher erklären. Bitte,...
mfg
Also ich denke ich habs jetzt. Vielleicht könnte das Ergebnis oder so wer bestätigen:
Also zuerst stell ich die Matrix auf, die dann folgendermassen ausschaut:
(3 a/2 1)
(a/2 2 1)
(1 1 2)
Damit sie positiv definit ist muss man drei Hauptminoren prüfen:
|A1|=det(a11)=det3=3>0
|A2|=|3 a/2|=setzte ich für a null ein-> 6>0
|a/2 2 |
|A3|=ist dann die gesamte Matrix wobei ich wieder 0 für a einsetzte. Danach hat man bestätigt dass wenn a=0 die quadratische Form positiv definit ist.
Oder?
Na aber laut diesem Link:
http://miss.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node60.html
geht das so.
Also wirds schon stimmen.
P.S. Natürlich gibts auch andere Lösungen, aber in der Angabe steht ja man soll einen Wert finden...
Hmm....was Hauptminoren sind findest du auch auf 135:
du beginnst beim element 11 und gehtst dann alle diagonal elemente Schritt für Schritt durch und bildest dann die nxn Matrix dazu;
bei unserem Bsp:
G=
(3 a/2 1)
(a/2 2 1)
(1 1 2)
1. Hauptminore:
3
2. Hauptminore:
bis zum Element 22
du bekommst eine 2x2 Matrix:
(3 a/2)
a/2 2)
3.:
bis zum Element 33
-->3x3 Matrix
--> hier die ganze Matrix
Damit die quad. Form pos. definit ist müssen alle Determinanten der Hauptminoren größer 0 sein
-->
1. 3 - trivial - ist >0
2. 6 -a²/2 >0 --> ne schöne Ungl. lösen
3. Hier auch die det. ausrechnen, >0 setzen, auflösen
....Das Erg. interpretieren und fertig.......
grmpf
@ crow:
Also:
(Ich gebe jetzt immer die Elemente der Matrix an, also zB a11 --> Element ganz links oben im Eck!
Hauptminore 1 größer 0 setzen:
a11 > 0
--> trivial, da das El. a11 = 3 ist --> 3 > 0 passt!
Hauptminore 2 größer 0 setzen:
a11 * a22 - a21 * a12 > 0
--> selbst probieren! Einfach die Elemente, die in der Matrix stehen einsetzen!
Hauptminore 3 größer 0 setzen:
a11*a22*a33 + a12*a23*a31 - a13*a22*a31 - a12*a21*a33 - a32*a23*a11 > 0
Die Hauptminoren sind also immer die Determinanten der (verkleinerten) Matrizen !!! Diese müssen > 0 gesetzt werden.
Jetzt hast du 3 (bzw. 2 - die 1. bringt dir ja nix) Ungleichungen. Die löst du so auf, dass du a > ... stehen hast. Und dann schaust du dir den Lösungsbereich an und kommst darauf, dass
L = {-1,0,1,2,3}
Greez, Sensei
@ crow (2)
Zu den übrigen Beispielen: Schau in den Monatg und Mittwoch Beiträgen nach! Dort findet sich a bisserl was...!
@ Lösungsmenge {-1,0,1,2,3}
ich denke sie ist nicht ganz vollständig, sondern gehört erweitert auf {-2,-1,0,1,2,3,4}
kann das sein? Das sind nämlich die Lösungen meiner Ungleichungen.
probiert es aus, mit -2 und 4 sind die minoren auch noch >0
Außerdem hat irgendwer geschrieben für die 2. HM: 6-a²/2 > 0, das ist aber 6-a²/4>0, oder?
mfg
sebi
@koali
Ich denke die Lösung für 188 müsste hier schon gut erklärt sein, aber ich schreibst dir nochmal auf:
1. Gramsche Matrix erstellen:
3 a/2 1
a/2 2 1
1 1 2
Damit es jetzt positiv definit ist müssen drei Hauptminoren > 0 sein.
1) det(a11) = 3>0 richtig
2) det
3 a/2 = 6>0
a/2 2
3) Nimmst du einfach wieder die Gramsche Matrix her und rechnest die Determinante aus. Die ist diesem Fall 7. Auch > 0 wieder richtig.
Da alle drei Hauptminoren mit a=0 grösser 0 sind stimmt es, dass sie positiv definit ist.
Hoffe du verstehst, wenn nicht lies einfach weiter oben nach. Unter diese Beiträge hätte ich es auch nicht geschafft.
@ crow
wie kommst du bei Punkt 2 auf 6. wenn du eine Variable drin hast kommt doch keine ganze Zahl raus. Irgendwas versteh ich da nicht!!
Und das wichtigste! Wie komm ich dann zur Lösungsmenge L= {-1.........}???
Bei Punkt 2 komme ich auf sechs indem ich 0 für a einsetzte.
Die andere Frage kann ich dir leider nicht beantworten. Schau mal in den anderen Beiträgen.
@koali:
Ganze Zahl, weil das ganze für ganze Zahlen zu Lösen ist, d.h. in der Lösungsemnge sind nur ganze Zahlen enthalten.
Beispiel:
Es kommt dir raus -1,34 < a < 5,4 (das sind jetzt Hausnummern, nicht die konkreten Lösungen zu _diesem_ Beispiel), dann ist L = {-1,0,1,2,3,4,5}
Bei diesem Beispiel:
Ich weiß es nicht mehr genau, aber du hast 3 (?) Ungleichungen und musst einfach schauen, welche ganzen Zahlen _alle_Ungleichungen erfüllen!
greez...
{-2,-1,0,1,2,3,4}
stimmt das jetzt oder nicht kenn mjich jetzt nimma aus
mfg nucle
vBulletin® v3.7.1, Copyright ©2000-2008, Jelsoft Enterprises Ltd.