Beispiel 191

[max1005]

Basis B = {(1,2,3),(0,1,0),(1,2,3)} mittels GRAM-SCHMIDT-Verfahren ist eine Orthonormalbasis zu bilden.


1. Schritt (Orthogonalsystem bilden)

Formel dazu Buch S 141 oben (y(r+1) = x(r+1) - summe ...)
Bei mir entspricht x a und y b

b1 = a1 = (1,2,3)

b2 = a2 - (a2*b1)/(b1*b1)*b1 = 1/7*(-1,5,-3)

b3 = a3 - [(a3*b1)/(b1*b1)*b1 + (a3*b2)/(b2*b2)*b2] = (1,-5,3)


2. Schritt (OS normieren -> alle Vektoren haben dann die Länge 1)

c1 = b1/||b1|| = 1/sqrt(b1*b1)*b1 = 1/sqrt(14)*(1,2,3)

c2 = b2/||b2|| = 1/sqrt(b2*b2)*b2 = 1/sqrt(35)*(-1,5,-3)

c3 = b3/||b3|| = 1/sqrt(b3*b3)*b3 = 1/sqrt(35)*(1,-5,3)


Ich hoffe das stimmt so!

Ciao, Max

[psycho]

also ich hab das anders: b1 und b2 hab ich gleich, aber b3 kann nicht stimmen b2*b3 != 0 bei dir

ich hab dafür : (29/70,-4/7,17/70) (kann das stimmen?)

(unnormiert, aber das sollte das kleinste problem sein...)

[max1005]

@ psycho

Du hast Recht, danke! Ich hab b3 noch einmal nachgerechnet und den Fehler gefunden:

b3 = (0,0,0) müsste jetzt stimmen.

Dann geht sich auch mit allen aus, dass das Skalarprodukt 0 ist!

Ciao, Max

[psycho]

naja ich weiß nicht, das kanns auch nicht sein, denn mit (0,0,0) sind die Vektoren l.a.

ich hab (29/70,-4/7,17/70)

[Boromir]

Wie multiplizierst du mit den Vektoren? Mir würden da lauter ganze Zahlen rauskommen :(

[Sensei]

Kann sein, dass ich mich irre, aber @max (dein posting ganz oben):
Hast du nicht die falsche Angabe. Der letzte Vektor der Basis heißt nämlich (1,2,2) und nicht (1,2,3). Kann sein, dasss dus dann eh mit den richtigen gerechnet hast, nur in deiner ersten Zeile stehn sie falsch...!

[max1005]

@ sensai

Du hast recht! Ich hab die Angabe falsch abgeschrieben, also vergeßt (0,0,0) als Lösung!!!

Danke für den Hinweis!

Ciao, Max

[psycho]

(0,0,0) kann aber unabhängig von der angabe nicht die lösung sein...

[stonie20]

wahrscheinlich ne blöde frage: aber kann mir wer erklären, wie ihr b2 und b3 berechnet habt?
kann ich das ganz einfach mit skalarprodukt und vektor-addition bzw.-subtraktion berechnen?

weil bei mir kommen da vollkommene schwachsinnszahlen raus (b2=(-6/5, 5/7, -4/7) und b3= (-15/154, 53/77, -87/154)
also entweder ich überseh dauernd nen rechenfehler oder ich rechne grundsätzlich total falsch.

also WIE GEHT DAS BITTE??????

[psycho]

also ich hab das so gemacht: (alle angaben ohne gewähr :D )

[sind anders als oben, habs nochmal gerechnet, hoffentlich stimmts jetzt, vorher waren geschickterweise jeweils 2 paare der vektoren orthogonal, das dritte hatte ich nicht überprüft, was aber das falsche war..... ]



x... ursprüngliche Basisv.
y...nichtnorm. Basisv.

In die Formel einsetzen:


y1 = x1


. ...... x1*y1
y2 =- ____ * y1 +x2

. ...... y1*y1


. ... ... x3*y1 .... x3*y2
y3 = - ____ *y1 - ____ *y2 + x3

. ... ... y1*y1 .... y2*y2



ich hab dann

x1=(1,2,3)
x2=(-1/7,5/7,-3/7)
x3=(3/10,0,-1/10)

das ganze dann noch normieren:

b1=(1,2,3)*1/sqrt(14)
b2=(-1/7,5/7,-3/7)*1/sqrt(5/7)
b3=(3/10,0,-1/10)*1/sqrt(1/10)


ohne html ists halt ungeschickt...

stimmt, das hab ich vergessen :(

[Sensei]

bei y3 fehlen jetzt bei der Formel die du da hingeschrieben hast die Multiplikatoren jeweils nach dem Bruch - Absicht oder vergessen?
Ich werd aus der Formel im buh nicht schlau, also tschuldigung falls ich jetzt was missverstanden hab.... is mir nur aufgefallen!

[Boromir]

Ich versteh trotzdem noch nicht wie man durch einen Vektor dividieren kann.

[Boromir]

Außerdem wenn ich das Kreuzprodukt von zwei gleichen Vektoren berechne kommt logischerweise Null raus, durch 0 kann ich aber nicht dividieren!!!

was bitte schön ist also

___________
y1*y1 ???

[stonie20]

@ boromir

wenn du x1*y1 (Zähler) berechnest durch Skalarprodukt und y1*y1 (Nenner) dann erhältst du ja jeweils eine ganze Zahl - und somit einen normalen Bruch.
zumindest hoffe ich das ...

[psycho]

skalarprodukt ist das

[sebus]

wo hab denn ich beim ersten Schritt, also bei OS bei dem dritten Vektor den Fehler ?

. ... ... x3*y1 .... x3*y2
y3 = - ____ *y1 - ____ *y2 + x3

. ... ... y1*y1 .... y2*y2


y3 = (1,2,2) - (11/14)*(1,2,3) + (2/1)*(0,1,0) = (3/14, 6/14, -5/14) + 2*(0,1,0) =
= (3/14, 34/14, -5/14)

Vielleicht sieht jemand ja auf anhieb den Fehler ?

[psycho]

naja also bei (2/1)*(0,1,0)weiß ich nicht wo das herkommen soll.

ich hab da -(x3*y2/(y2*y2)) *y2
mit
y2=(-1/7,5/7,-3/7)

[djmaecki]

Hab es nachgerechnet, psychos Lösung stimmt.

[sebus]

und was bekommt ihr nun für -(x3*y2/(y2*y2)) heraus ? Also mit was muss ich y2 multiplizieren ?
3/5 ?