erzeugende Funktion

[aurelia]

Ich komme mit der erzeugenden Funktion nicht klar. :wein:

Was ist diese erzeugende Funktion überhaupt?
Kennt vielleicht jemand einen gute Internetseite,
wo dies gut/halbwegs verständlich erklärt ist?

Läuft das ganze einfach nach Schema F ab wie im Skriptum?

Hilfe!

[:-)]

also ich kenne imch genauso wenig aus.....
kommen zur nächsten dienstag übung wieder nur 4 beispiele oder 5=
würde auch gerne zum 34 aufgeklärt werden...

lg :-)

[deez]

Ich hab das http://www.matha.mathematik.uni-dortmund.de/~scharlau/M2Inf/m2inf_kap4_2.pdf gefunden.

[aurelia]

Bis Dienstag zum rechnen sind 34 bis 38.

@deez: Danke für den Link,
aber sehr viel mehr weiß ich nun auch nicht... :shinner:

[Lacce]

aber sehr viel mehr weiß ich nun auch nicht... :shinner:

Woran hapert's denn konkret?

-Thomas

[:-)]

also direkt beim versuch folgende funktionen anzuwenden und ob ich überhaupt nach dem schema vorgehen darf:
*z^n+1
Summe
und dann eben X(z) rausheben...aber wie funktioniert das mit xn+1?

[Lacce]

also direkt beim versuch folgende funktionen anzuwenden und ob ich überhaupt nach dem schema vorgehen darf:
*z^n+1
Summe
und dann eben X(z) rausheben...aber wie funktioniert das mit xn+1?

Ich fürchte, ich versteh nicht ganz. Welche Funktion? Und was magst Du dann damit machen?

-Thomas

[aurelia]

Ich denke ich habs mittlerweile "verstanden":
Man rechnet das ganze einfach nach Schema F (siehe Skriptum)
und dann a bißal Hin- und Herschieberei und fertig. :engel:

[gelbasack]

Also besonders erklärt ist das ja nicht im Skriptum :(
Am Anfang einfach stur *z^(n+1) ?
Wenn man die Summe einführt... auf der linken Seite landet alles innerhalb der Summe, auf der rechten wird beide male ein z vorgezogen, stört das n+1? Will man hier nur n haben?
Wie kommt man danach auf das X(z) - x0? Meine Spekulationen wären ja left shift und das 1/z kürzt sich weg, weil man ja n+1 als Exponent hat, aber das kann's ja doch nicht sein...
Auf der nächsten Seite wird das unter der geschwungenen Klammer als Summe((3z)^n) bezeichnet, wie heißt das in unserem Beispiel? Ausgehen würde es sich ja mit Summe(nz^n), aber keine Ahnung, wieso so anders als im Skriptum...

Habt ihr das wirklich nur nach Schema gerechnet? Ich mein', das klappt zwar so ziemlich, aber erklären könnte ich da 0. Steht ja nirgens was.

[Lacce]

Ich versuchs mal an einem Beispiel:

Fibonacci-Zahlen: f_0 = 1, f_1 = 1, f_n = f_{n-1} + f_{n-2}\quad (n \geq 2)

Wir multiplizieren die Rekursion mit z^n:
f_n z^n = f_{n-1} z^n + f_{n-2} z^n

Nun summieren wir über alle n >= 2:

\sum_{n \geq 2}f_n z^n = \sum_{n \geq 2}f_{n-1} z^n + \sum_{n \geq 2}f_{n-2} z^n

Wir wollen jetzt irgendwie auf eine Formel für die Funktion F(z) = \sum_{n \geq 0}f_n z^n kommen. Die linke Seite schaut ja schon fast so aus - es ist ja \sum_{n \geq 2}f_n z^n = \sum_{n \geq 0}f_n z^n - f_1 z^1 - f_0 z^0 = F(z) - z - 1. Wir formen die anderen Terme so um, dass der Index von f und der Exponent von z übereinstimmt:

F(z) - z - 1 = z\sum_{n \geq 2}f_{n-1} z^{n-1} + z^2 \sum_{n \geq 2}f_{n-2} z^{n-2}

Jetzt Indexverschiebung in den beiden Summen (n -> n+1 bzw. n -> n+2):

F(z) - z - 1 = z\sum_{n \geq 1}f_{n} z^{n} + z^2 \sum_{n \geq 0}f_{n} z^{n}

Jetzt ist wieder: \sum_{n \geq 1}f_n z^n = \sum_{n \geq 0}f_n z^n - f_0 z^0 = F(z) - 1

Also:

F(z) - z - 1 = z(F(z) - 1) + z^2 F(z) = z F(z) - z + z^2 F(z)
Weiter:
1 = F(z) - z F(z) - z^2 F(z) = F(z)(1 - z -z^2)
Und schließlich: F(z) = \frac{1}{1 - z - z^2}

Ich hoffe, das illustriert, wie man eine erzeugende Funktion findet.

-Thomas