PDA

View Full Version : [Frage] Bsp 226

wolti
14-12-2002, 16:59
Für eine Metrik müssen ja folgende Sachen gelten.

1) d'(x,y) >= 0, d'(x,y) = 0 <=> x=y
2) d'(x,y) = d'(y,x)
3) d'(x,z) <= d'(x,y) + d'(y,z)

Die Beweise 1 und 2 sind trivial. Beweis 3 habe ich wie folgt angesetzt.

Beweis 3:
d'(x,z) <= d'(x,y) + d'(y,z)
d(x,z)/(1 + d(x,z)) <= d(x,y)/(1 + d(x,y)) + d(y,z)/(1 + d(y,z))

Wir können sicher sagen, da d(x,y) ja eine Metrik ist, dass d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z) ist. D.h. es ist im schlimmsten Fall genau gleich groß. Ich setzte nur für d(x,z) diese Beziehung ein.

(d(x,y) + d(y,z))/(1+d(x,y) + d(y,z)) = d(x,y)/(1+d(x,y) + d(y,z)) + d(y,z)/(1+d(x,y) + d(y,z))

Nun sieht man sofort, dass das ganze stimmt, da.

d(x,y)/(1+d(x,y) + d(y,z)) sicher kleiner oder gleich d(x,y)/(1 + d(x,y)) und

d(y,z)/(1+d(x,y) + d(y,z)) sicher kleiner oder gleich d(y,z)/(1 + d(y,z)) ist.

Denke schon, dass dieser Beweis so gelten dürfte.

Grüße,
Wolti
WeirdAI
15-12-2002, 21:02
Jup, sehe ich auch so, wobei ich zwecks Übersichtlichkeit halber d(x,z), d(x,y) und d(x,z) durch a,b und c ersetzt habe, weil die Kugelschreiber so teuer sind heutzutage :P

Alex
lolaB
15-12-2002, 22:30
???
auf http://www.geometrie.tuwien.ac.at/bgitten/m1.html steht, dass 225 auf ist!?

lg,
lola
lolaB
15-12-2002, 22:31
sorry,
natürlich http://www.geometrie.tuwien.ac.at/bgitten/Montag.html
lg,
lola
WeirdAI
15-12-2002, 22:37
Stimmt. Ich hab aber definitiv 226 aufgeschrieben... Vielleicht hat sich der Prof letzten Montag an der Tafel verschrieben... Naja ich belass es beim 226er. Mal sehen...

Alex
wolti
16-12-2002, 16:45
Nachtrag:

Ich habe gerade noch mit dem Prof disktuiert und wir sind jetzt der Meinung, dass mein Beiweis doch gültig ist. Man muss nur zeigen, dass wenn z die maximale zahl ist, für jede zahl kleiner als z gilt:

z/(z + 1) > (z - 1)/(1 + (z-1))

Dies ist logischerweise gültig, da dieser Bruch gegen 0 konvergiert.

z.B. z = 100

100/(100 + 1) =.99009900
99/(99 + 1) = .99000000

Nichtsdestotroz ist sein Beweis sicher eleganter.. Einen Kollegen hat es hier nämlich bei uns an der Tafel heute "erwischt".

--> Braucht man für folgenden Satz in meine m Beweis. Wir können sicher sagen, da d(x,y) ja eine Metrik ist, dass d(x,z) <= d(x,y) + d(y,z) ist. D.h. es ist im schlimmsten Fall genau gleich groß. Ich setzte nur für d(x,z) diese Beziehung ein.

Grüße,
Wolti