Beispiel 189

[max1005]

F(xyz) = x² + axy + 3xz + y² - 2yz + 4z²
a bestimmen, damit Gleichung positiv definit ist.

Bin mir nicht sicher, ob ich mich irgendwo verrechnet habe, aber im Grunde müsste es passen:

---
Siehe Buch S 135 unten (Ist die quadratische Form durch ...)
aij sind die Koeffizienten
x1 ist x
x2 ist y
x3 ist z
n = 2
Wenn Hauptminore von F(xyz) > 0 und F(xyz) symmetrisch -> positiv definit

---
Aufstellen der GRAMschen Matrix (deren Elemente bekommt man durch die Formel auf S 135 unten). Rechnet man die Formel aus, bekommt man:

F(xyz) = 1x² + 2*axy + 2*3xz + 1y² + 2*(-2)yz + 4z² und weiters:

 / 1    a   1,5 \
|  a    1   -1  |
 \1,5 -1    4  /

Nun müssen die Hauptminoren der Matrix > 0 sein:

|1 a|
|a 1| = 1*1 - a*a
1 - a² > 0

|  1   a  1,5|
|  a   1  -1 | = 4 - 1,5a - 1,5a - 2,25 -1 -4a²
|1,5 -1   4  |
0,75 - 3a - 4a² > 0

Nun löst man die Gleichung 0,75 - 3a - 4a² = 0 und kommt auf
a1 = -0,95
a2 = 0,20
also (a + 0,95)*(a - 0,20) > 0

Fall 1:
(a + 0,95) > 0
(a - 0,20) < 0
-> a = 0 (weil a element_von Z)

Fall 2:
(a + 0,95) < 0
(a - 0,20) > 0
-> Widerspruch

Unsere erste Ungleichung ist 1 - a² > 0

Daraus ergibt sich unsere Lösung, nämlich:

a = 0

Bitte rechnet das Beispiel selber nach (wegen möglicher Rechenfehler)!

Ciao, Max

[psycho]

also ich hab auch 0, aber so mit probieren, ich hab einfach 0 eingesetzt, nachdem es nicht allgemein gefragt ist, passt das so auch?

[max1005]

ACHTUNG: ich glaube, ich habe einen kleinen Fehler in der Matrix: statt a muss man a/2 einsetzen. Bin mir aber nicht 100%ig sicher.

Ciao, Max

[sebus]

Ist nicht vorgegeben, dass "positiv definit" nur gilt, wenn
F(x) > 0 für alle x != Nullvektor, sprich, bei Z also 0 ?

Und nachdem ihr ja 0 rausbekommt gilt das demnach nicht, oder ?

[psycho]

also ich hab auch a/2

[Walter Huber]

@ sebus

wenn a = 0 dann ist es doch eh nicht der nullvektor!!!
das heisst das (x,y,z) trotzdem beliebig sein können und die ungleichung stimmt!!!

[stonie20]

hab auch 0 als lösung. allerdings hab ich die 2 kurven gezeichnet, weil ich nicht weiß wie man rechnerisch auf die lösung kommt....

wie kann ich
3/4 - 3a/2 - a² > 0 berechnen???

bzw. was ist lösung von a² < 4 ??????

[Walter Huber]

@ stonie20

musst du ja gar nicht. du brauchst nur "eine" lösung (siehe angabe). und nach der ersten unterdeterminante kann a nur mehr 0 oder 1 sein. und wenn du dann bei der determinante der matrix... also deiner quadratischen ungleichung 0 einsetzt, wirst du merken das es positiv ist und somit 0 "eine" lösung ist. brauchst die ungleichung also nicht lösen, weil nicht alle lösungen verlangt waren, dondern nur "eine".

[Walter Huber]

@ stonie20

a²>4 ergibt
a1 > 2
a2 > -2

in Z ist das
L={(-unendlich),...,-3,3,...,(unendlich)}

hoffe das stimmt so... weil ich kann mich an das selber nicht mehr erinnern

[stonie20]

thx @walter huber!

aber noch ne frage: warum kann nach der ersten unterdet nur mehr 1 oder 0 lösung sein????
die erste lautet ja: 1 > 0
und die nächste 1 - a²/4 > 0
woran kann ich da die lösungen 1 bzw 0 ablesen????

und zu deinem 2.beitrag: wenn a2 > -2 ist, dann müsste die lösung so ausschauen:
L={1-, 0, 1, 2, .......}
dreht sich bei einer ungleichung beim wurzelziehen also das ungleichheitszeichen nicht um???

nochmal thx!

[semicolon]

Original geschrieben von stonie20

und die nächste 1 - a²/4 > 0

woran kann ich da die lösungen 1 bzw 0 ablesen????



hallo allerseits,

1 - a² / 4 > 0 | -1
-a² / 4 > -1 | *(-4)

a² < 4

dh, -2 < a < 2

mögliche lösungen bisher -1, 0, 1

dritte unterdeterminante:

-a² - 3/2 a + 3/4 > 0

EDIT: Achtung da war ein VZ fehler, richtig ist es glaube ich so:

1: -1 - 3/2 + 3/4 > 0 stimmt nicht!

0: 0 - 0 + 3/4 > 0 stimmt

-1: -1 + 6/4 + 3/4 > 0 stimmt

{-1, 0} sind also *alle* lösungen aus Z.

habt ihr das auch?
bye...

[Walter Huber]

stimmt... die erste unterdeterminante sagt auch das es -1 sein könnte. das hab ich übersehen.
aber nochmal man brauch nur eine lösung... und 0 ist auf jeden fall richtig.
also eifach a = 0!!!
das passt!

[Walter Huber]

übrigens ist es nicht nur spät sondern auch alkoholisiert. also nicht zu ernst nehemen und vorallem nicht übel wenn etwas falsch ist... weil übel ist das letzte woran ich jetzt denken will...... :eek2:

[semicolon]

eh, sorry... ich habe in meinem letzten posting einen vorzeichen fehler... es muss natürlich -a² -1 sein (für ein 1 und -1) --> das hat zur folge, dass 1 keine gültige lösung ist sondern nur 0 und -1, hoffe das passt jetzt!

bye...

[Walter Huber]

also ich hab:
1-(a²/4)>0

und ich komme da wie du anfangs schon gesagt hast auf
L={-1,0,1}

[Boromir]

Herst Walter, kommst heute noch auf die UNI oder nicht? scheinbar erreicht man dich ja nicht.

[michi204]

könnte vielleicht jemand das bsp noch mal idiotensicher erklären?

ich versteh schon die ersten vier zeilen nicht genau...

DANKE! ;)
lg