Bsp. 10.2

[dj_m.o.h.t.]

Angabe: Ein System bestehe aus zwei Komponenten. Die Lebensdauer der Komponenten seien unabhängig exponentialverteilt mit Mittel 6, allerdings nur bis zum Ausfall einer der beiden Komponenten. Auf Grund der nun höheren Belastung sei die Lebensdauer der anderen Komponente ab diesem Zeitpunkt exponentialverteilt mit Mittel 4. Man ermittle:

(a) die dichte der Zeitspanne bis zum Ausfall beider Komponenten;

(b) Mittelwert und Streuung dieser Zeitspanne.


Lösung:

(µ 1...µ mit Index 1; usw.; f x (y)...Randdichte; Int...Integral)

µ 1 = 6; µ 2 = 4

(a) f(x=T 1, y=T 2) = ((1/6)*(e^(-x/6))*(1/6)*(e^(-y/6))*I (0,T 1) (y)) + ((1/4)*(e^(-y/4))*I (T 1,unendlich) (y)) für T 1 < T 2

(b) f x (y) = Int 0 bis unendlich ((1/36)*(e^(-(x+y)/6))*I (0,x) dx) + Int 0 bis unendlich ((1/4)*(e^(-y/4))*I (x, unendlich) (y) dx) = ((1/36)*(-6)*(e^(-(x+y)/6))*I (0,x)) | (0 bis unendlich) + (x*(1/4)*(e^(-y/4))*I (x,unendlich) (y)) | 0 bis unendlich = (1/6)*(e^(-y/6))

µ=6
sig=SQRT 6

[kb23kye]

Frage ad (a)
(a) f(x=T 1, y=T 2) = ((1/6)*(e^(-x/6))*(1/6)*(e^(-y/6))*I (0,T 1) (y)) + ((1/4)*(e^(-y/4))*I (T 1,unendlich) (y)) für T 1 < T 2

okay.... mir ist klar das der erste teil von 0 bis zum ausfall der ersten komponente ist und der zweite teil (nach dem +) ab den ausfall der ersten komponente ist...

mir ist auch die expofunktion klar --> f(x)=(1/tau)*(e^(-(x/tau)))I(0,unendlich)(x)) --> und das beim ersten teil beide komponenten arbeiten (beim zweiten teil nur die 2e komponenten) aber was mir nicht klar ist....
müsste ich nicht beim zweiten schreiben I(T1,T2)? immerhin geht das ganze werkl doch nur bis T2 auch ausfällt, oder?

hab ich da irgendwie einen gedankenfehler? reply erwünscht - greets & nice sunday - jürgen

[kb23kye]

@ last reply
arg.... habs schon wieso I(T1,unendlich) - war nur mit meinen gedanken ein bisschen weg - sorry.

[kb23kye]

ad (b)
....*(e^(-y/4))*I (x,unendlich) (y)) | 0 bis unendlich = (1/6)*(e^(-y/6))
:hewa:
wie funktioniert das? wie kommt man auf das ergebnis (1/6)*(e^(-y/6)) ? ist mir nicht ganz klar?
bitte um hilfe - greets jürgen

[skytale]

mal ne dumme frage:D
wir möchten bei a doch die Wahrscheinlichkeit ausrechen, dass beide Komponenten zu einem Zeitpunkt T ausfallen. Rechnest du nicht die Wahrscheinlichkeit aus, dass eine zu einem Zeitpunkt T1 ausfällt und die zweite zum Zeitpunkt T2. T1 sollte uns doch egal sein, oder????
bin verwirrt...

[kb23kye]

@skytale @a

naja du willst doch das gesamtsystem ermitteln...
und es steht in der angabe das sich die lebensdauer der 2en komponente nach dem ausfall der ersten verändert (verkürzt)

also rechnest du zuerst bis zum ausfall der ersten komponente (musst aber noch mit beide komponenten rechnen --> deswegen der teil der vorne steht. Und dann arbeitet nur noch die zweite komponente mit veränderter lebensdauer... und das ist das was hinterm plus steht.

hab ichs ein wenig kompliziert erklärt? denke schon oder?
:eek2:

[DancingComet]

wenn das endergebnis (1/6)*(e^(-y/6)) ist, dann ergibt sich das doch dadurch, dass der zweite term (also: (x*(1/4)*(e^(-y/4))*I (x,unendlich) (y)) | 0 bis unendlich) wegfällt. aber warum tut er das? und kann es überhaupt sein, dass sich der Erwartungswert der Lebensdauer überhaupt nicht ändert?

[FaKe]

berechtigte frage warum das wegfällt, bzw. inwiefern sich die Indikatorfunktionen auswirken ?!?

edit: bzw. fehlt dann bei
f x (y) = Int 0 bis unendlich ((1/36)*(e^(-(x+y)/6))*I (0,x) dx) + Int 0 bis unendlich ((1/4)*(e^(-y/4))*I (x, unendlich) (y) dx)

nicht das (y)
also:

f x (y) = Int 0 bis unendlich ((1/36)*(e^(-(x+y)/6))*I (0,x)(y) dx) + Int 0 bis unendlich ((1/4)*(e^(-y/4))*I (x, unendlich) (y) dx)

edit2:
statt (1/6)*(e^(-y/6))
bekomme ich -(1/6)*(e^(-y/6))
wenn man den 2. teil ohne Erklärung wegfallen lässt

[DancingComet]

@FaKe:
das (y) ghört denk ich auch so... is aber ja eigentlich nur ein formfehler oder?
das (1/6)*(e^(-y/6)) stimmt sicher und zwar deswegen:
die funktion die man beim integral rauskriegt is schon -(1/6)*(e^(-y/6)) , aber du musst sie dann noch von 0 bis unendlich auswerten.
bei unendlich wird e^einen unendlich kleinen negativen wert gerechnet => fällt also weg
mit 0 kommen wir auf unser ergebnis, das jetzt subtrahiert wird und deswegen: (1/6)*(e^(-y/6))
das mitm wegfallen is aber noch immer nicht klar... HILFE!!! :rolleyes:

[FaKe]

formfehler nur soweit sich die I auf das ergebnis auswirken ... und da hab ich grad meine probleme

[MrBurnst]

kann es sein dass der zweite teil wegfällt weil e^-unendlich eine unendlich kleine Zahl ist??