Beispiel 123

[RolandU]

Also bei mir geht das folgendermaßen. Ich halte mich dabei großteils ans Beispiel im Skriptum Seite 37. Es kommt jedoch komplett etwas anderes heraus als bei den anderen Lösungen http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=1850 und http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=19718 , doch Fehler konnt ich keinen finden...

(1+2y)dx - (4-x)dy = 0 | + (4-x)dy
(1+2y)dx = (4-x)dy | / (1+2y)(4-x)
dx/(4-x) = dy / (1+2y) | Integrieren
Integral (1/(4-x))dx = Integral (1/(1+2y))dy | ausrechnen
ln(4-x) = ln(1+2y) + ln(c) | *e (baut die ln() ab)
4-x = 1+2y + c | -2y
-2y+4-x = 1+c | -4+x
-2y = -3+x+c | *-1, /2
y = (3-x-c)/2, c element Real

Glaubt noch jemand, dass das so richtig ist?

[shingo]

ln(4-x) = ln(1+2y) + ln(c) | *e (baut die ln() ab)


müsste hier nicht stehen
ln(4-x) + ln(c1) = ln(1+2y) + ln(c2)

[anty]

müsste hier nicht stehen
ln(4-x) + ln(c1) = ln(1+2y) + ln(c2)
Du kannst ja beide ln(c)s zusammenfassen zu einem ln(c).

Was mich mehr stört ist, dass mir Mathematika folgendes beim Integrieren ausspuckt:
\int \frac{1}{4-x} dx = -\log{4-x} und für den zweiten Teil:
\int \frac{1}{1+2y} dy = \frac{1}{2} \log{1+2y}
Was mach ich mit dem 1/2?

Edit: Ich glaube nicht, dass das richtig ist, aber vielleicht kann ja irgendjemand helfen...:
-ln|4-x| = 1/2 * ln|1+2y| + ln|c| |*e
-(4-x) = e^(1/2) * (1+2y) + c |-c
-4+x-c = e^(1/2) * (1+2y) |/e^(1/2)
\frac{-4+x-c}{\sqrt{e}} = 1+2y |-1 |/2
\frac{-\frac{4+x-c}{\sqrt{e}}}{2} = y

[anty]

Ok, ich glaub ich hab's:

Verwendete Theorie:
log_b(x*y) = log_b(x)+log_b(y) (bei ln ist b = e)
log_b(x^r) = r*log_b(x)
\ln{\frac{1}{x}} = -\ln{x}
(Ja, ich weiß, sind Basics, aber man muss es trotzdem wissen ^^)

Das Beispiel:
(1+2y) dx - (4-x) dy = 0 |+(4-x) dy
(1+2y) dx = (4-x) dy |/(1+2y)(4-x)
\frac{dx}{4-x} = \frac{dy}{1+2y}
\int \frac{1}{4-x} dx = \int \frac{1}{1+2y} dy
-ln|4-x| = 1/2*ln|1+2y|+ln|c1|
-ln|4-x| = ln|\sqrt{1+2y}| + ln|c_1|
ln|\frac{1}{4-x}| = ln|\frac{\sqrt{1+2y}}{c_1}| |*e
\frac{1}{4-x} = \frac{\sqrt{1+2y}}{c_1} | *c1
\frac{c_1}{4-x}* = \sqrt{1+2y} | ²
(\frac{c_1}{4-x})^2 = 1+2y | -1
\frac{c_1^2}{(4-x)^2} - 1 = 2y | /2
(\frac{c_1^2}{(4-x)^2} - 1) * \frac{1}{2} = y
c_2*\frac{1}{2(4-x)^2} - \frac{1}{2} = y

Kann das stimmen?

[RolandU]

ln|\frac{1}{4-x}| = ln|\frac{\sqrt{1+2y}}{c_1}| |*e
müsste das am Ende nicht "-c1" heissen (und im weiteren dann auch)?
http://www.mathematik.net/logarithmen/L02s20p1.gif

ausserdem:
in deiner letzten Zeile..... ich nehme an das "c2" ist c1^2, oder?

ansonsten scheints mir voll plausibel.:thumb:

[anty]

müsste das am Ende nicht "-c1" heissen (und im weiteren dann auch)?
http://www.mathematik.net/logarithmen/L02s20p1.gif

Keine Ahnung was du damit meinst, und was du mir mit dem Bild sagen willst :confused:

c1^2 hab ich durch c2 ersetzt... :) kannst aber auch c1^2 schreiben.

[RolandU]

ok, das unten versteh ich jetzt.

Doch was tust du oben, vor/in der Zeile, die mit " |*e " endet? Auf die bezieht sich auch das lustige Bildchen. Ich glaube nämlich es müsste unter dem Bruchstrich -c1 heissen (und in weiterer Folge auch).

[anty]

das kann leicht sein, genau bei dem Schritt hab ich keine Ahnung was ich tue ;) ich hab das von deinem ersten Post übernommen. Wenn du mir erklären kannst, wie man mit e den natürlichen Logarithmus so einfach weg bekommt, währe ich dir dankbar.
Und mir ist bewusst, dass e^x die Umkehrfunktion von ln(x) ist. Nur keine Ahnung wie ich das "anwende".
Weil wenn ich jetzt die ganze Gleichung *e^(1/4-x) nehme, taucht ja auf der rechten Seite auch dieses e^(1/4-x) auf. Wie bekomme ich das dann wieder weg?

@Bild: Ich bin grad drauf gekommen, dass man bei einer Addition so vorgeht: \log_b{x}+\log_b{y} = \log_b{(x*y)}
Also stimmt das nicht ganz so wie ich das beschrieben hab...

Also hier mein Vorgang ab dem *e (wo ich noch immer nicht weiß, ob das so richtig ist):
ln|\frac{1}{4-x}| = ln|\sqrt{1+2y}*c| | *e
\frac{1}{4-x} = \sqrt{1+2y}*c | ^2
\frac{1}{(4-x)^2} = (1+2y)*c^2 | /c^2
\frac{1}{(4-x)^2}*\frac{1}{c^2} = 1+2y | -1
\frac{1}{(4-x)^2}*\frac{1}{c^2}-1 = 2y | /2
(\frac{1}{(4-x)^2*c^2}-1)*\frac{1}{2} = y
(\frac{1}{2*(4-x)^2*c^2}-\frac{1}{2}) = y