Bsp. 182

[Xellos]

mit der gleichen überlegung wie 180.

rang reduzieren. wenns dort falsch ist, ist das hier auch blödsinn-

(6 3 7)
(8 5 9)
(9 3 10)

Wieder muss man eine Abhängigkeit zwischen 2 Zeilen herstellen.
Aber wie nun?

Schauen wir uns mal die Differenzen zwischen Zeilen an.

I-II=-2 -2 -2
I-III=-3 0 -3
II-III=-1 2 -1

das sind die 'Zählschritte' zwischen den einzelnen Elementen. Damit nun eine Abhängigkeit zwischen 2 Zeilen ist, muss in einer einheitlichen Zahl von Schritten dasselbe Resultat in ZindexP erreicht werden.
d.h. im 'Zielsystem' müsste Element 1=Element 2=Element 3 sein.

wenn demnach jedes element in der Differenz als Vielfaches der anderen Elemente oder mit 0(entspricht ja keiner änderung dieses elements zwischen den zeilen und fällt damit bei jeder basis weg) ausgedrückt werden kann, so ist der Betrag des kleinsten Elements die gesuchte Basis.

edit: im sinne besserer formulierung: der GGT(größte gemeinsame Teiler) der Zählschritte ist die Entsprechung der Basis.
(wenn der GGT keine Primzahl ist, zählen die Elemente der Primfaktorenzerlegung und alles, was man daraus machen kann :)
z.b. I-II = 63 126 63
GGT: 63. => 3*3*7. d.h. 3, 7, 9, 21, 63 wären die lösungen. hab ich zwar nicht genau verifiziert, müsste aber von der logik dahinter her genauso stimmen. nur zur weiteren 'verallgemeinerung' des lösungsansatzes)

I-II= -2 -2 -2

-2=-2=-2, damit 2 = Basis

I-III= -3 0 -3
-3=-3, damit 3 = Basis

II-III= -1 2 -1
-1=(-2)*-1=-1, damit wäre 1=Basis(-2 ist der Multiplikator, das vielfache). Wenn ich mich recht erinner, ist 1 aber nicht bei den Primzahlen dabei.

D.h. Unsere Lösung wäre ZindexP für P={2,3}

überprüfung:
Zindex2

(0 1 1)
(0 1 1)
(1 1 0)

erste u. zweite zeile ident.

Zindex3

(0 0 1)
(2 2 0)
(0 0 1)

erste u, dritte zeile ident.

[trivial]

ich habs so gemacht:
2: 0*1*0 + 1*1*1 + 1*0*1 - 1*1*1 - 0*1*0 - 0*0*1 = 0
3: 0*2*4 + 3*3*3 + 1*2*3 - 3*5*1 - 3*3*0 - 4*2*3 = -6
5: 1*0*0 + 3*4*4 + 2*3*3 - 4*0*2 - 3*4*2 - 0*3*3 = 42
7: 6*5*3 + 3*2*2 + 0*1*3 - 2*5*0 - 3*2*6 - 3*1*3 = 57
11: 6*5*10 + 3*9*9 + 7*8*3 - 9*5*7 - 3*9*6 - 10*8*3 = -6

[Xellos]

hm? ausprobieren für alles, was in frage kommt? ;)

auch ne idee...aber erklär mal

3: 0*2*4 + 3*3*3 + 1*2*3 - 3*5*1 - 3*3*0 - 4*2*3 = -6


bei Zindex3 sollten da eigentlich keine 4er und 5er sein, oder?
dann ist

(6 3 7)
(8 5 9)
(9 3 10)

0*2*1+0*0*0+1*2*0-1*2*0-0*2*1-0*0*0=0
und drei ebenfalls ne lösung....

ich wollt nur eben nicht mit ausprobieren machen, denn ne allgemeine lösung sieht irgendwie immer besser aus, oder ;)

[trivial]

schon gut, hast gewonnen!
Ich wollte es nur anders machen als du!

[Xellos]

och, nich beleidigt sein ;_;

ich mag es, so, wie du's gemacht hast! wirklich!

genauso bin ich mir nich 100% sicher, ob das mathematisch überhaupt so tragbar is, wie ich's mir da zurechtgelegt hab. ^_^

wieder freunde?

[trivial]

ich war garnicht beleidigt!
tut mir leid falls das so rübergekommen ist!
wird schon stimmen wie du es gemacht hast!
Ich mein ist ja logisch! also wieso nicht?

[Murmel]

Mir wär auch nur die Lösung mit dem Determinantenrechnen eingefallen, aber die schaut wirklich allgemeiner aus. Muss sie mir nur noch ein paar Mal durchlesen bis ich sie verstehe =)

[wolti]

Ich habe das auch wieder über eine
Determinate gemacht. die Determinate des Ursprungssystems ist ja 18 (habe ich zumindest erhalten).
18 ist 2*3*3 (Primfaktorzerlegung). D.h. 18 mod 3 bzw 18 mod 2 ergibt 0 (Also immer die Elemente aus den Restklassenkörpern denken, mag keine Quer über den Zahlen schreiben).
Wir erhalten also, dass Z2 und Z3 als Ergebniss 0 Quer liefern. Geht darum, da wir ja Primzahlen haben. D.h. wir haben keine nichtrivialen Nullteiler wie z.B. in Z4 wo ja 2*2 = 0 ist z.B. Auch wäre es dann dann kein Körper sondern nur ein Ring und 4 ist ja auch keine Primzahl..

Hinweis:
Es ist ja im Restklassenkörper egal, ob ich für 1 schreibe 1 + n*m wobei m den Restklassenring/körper bezeichnet (Also z.B. 2 oder 3) und n eine natürliche Zahl ist.
Bew:
[x] = {y | y kongurent x mod m}
liefert das gleiche wie
[x] = {y | y kongurent (x + n*m) mod m}

Z.b. Z2:
[0] = { y | y kongurent 0 mod 2 }
--> y -0 = l*2, l &isin Z;
= {..., -2, 0, 2, ...}

[2] = { y | y kongurent 2 mod 2 }
--> x = 2 + l*2, l &isin Z;
= { ..., -2, 0,2 ... }

Grüße.
Wolti

[Xellos]

hm. das klingt sehr nett, aber ich hätt, lästig wie ich bin, wieda mal ne frage ^_^

wenn ich jetzt nicht unser system nehm, sondern ein leicht verändertes:

(7 3 7)
(8 5 9)
(9 3 10)

statt

(6 3 7)
(8 5 9)
(9 3 10)


dann hab ich als Det.: 7*5*10+3*9*9+7*8*3-7*5*9-3*8*10-7*9*3=350+243+168-315-240-189=17

17 is ja nu zuuuufällig ne Primzahl. d.h. Primfaktorenzerlegung is nich. Aber wir ham ein positives Ergebnis. Nur sieht des System nich wirklich so aus, als ob ne Abhängigkeit in Zmod17 vorliegt.

Wie kann ich das nu einschränken auf Lösungen und Trivialergebnisse?


und:

1 3 5
3 5 7
1 1 1

5+21+15-25-9-7=41-41=0

lediglich 0 als lösung? dabei wärs in Zmod2

1 1 1
1 1 1
1 1 1

...hu-humm, sieht mir sehr abhängig aus....
entweder überreiss ich deine lösung noch nich, oder irgendwo is ne lücke in der überlegung. bitte erklären? :confused:

is aber nett, dass sich zumindest noch irgendwer dritter findet, der sich mit dem zeug beschäftigt *eg*

[wolti]

(7 3 7)
(8 5 9)
(9 3 10)

Meine Behauptung. Ist singuär in Z17, da Determinate = 17 ist.

Regulär bedeutet, dass die Spaltenvektoren Linear unabhängig sind. Singulär bedeutet, dass die Spaltenvektoren linear abhänig sind. Es gibt also eine Darstellung des Nullvektors in der Form:

Ich schreibe die Spaltenvektoren jetzt in der Zeile als Tupel

k1 * <7,8,9> + k2 * <3,5,3> + k3*<7,9,10> = <0,0,0>

k1 = 7, k2 =4, k3 =1 (Berechnet)

7*<7,8,9> = <49,56,63> = <15,5,12>
4*<3,5,3> = <12,20,12> = <12,3,12>
1*<7,9,10> = <7,9,10>

<15,5,12> + <12,3,12> + <7,9,10> =
<34, 17, 34> = <0,0,0> !!!

D.h. es stimmt auch in diesem Fall ! Aber es war sehr schwer das Beispiel zu lösen. Nur mit schauen siehst du keine Abhänigkeit ! Ich habe sicher 20 Minuten mit dem Gauss gerechnet um diese Lösung zu bekommen *grr*.

Das mit dem 0 ist noch unklar. Aber vielleicht ist es dann in allen abhängig. Für Z3 ist es abhängig und für Z2.

[wolti]

1 3 5
3 5 7
1 1 1

Meine Behauptung könnte stimmen. Ist die Determinate 0, so ist es in allen Zm mit M eine Primzahl abhängig. beim 2 hast es ja schon gezeigt:

Z3:
[1, 0, 2]
[0, 2, 1]
[1, 1, 1}

det = 1*2*1 - 2*2*1 - 1*1*1
= -3 --> = 0 !

Z5:
[1 3 0]
[3 0 2]
[ 1 1 1]

det = 3*2*1 - 1*2*1 - 3*3*1 = -5 --> = 0 !

1 3 5
3 5 7
1 1 1

Z7:
[1 3 5]
[3 5 0]
[1 1 1]

det = 1*5*1 + 5*3*1 - 5*5*1 - 3*3*1 = -14
--> = 0 !

Grüße,
Wolti

PS. Für Größer muss man es nicht mehr überprüfen, da sich ja dort nichts mehr ändert.

[Xellos]

na, ganz geheuer is's mir nicht ^_^

vor allem mit dem 0er, und x<0 => x=0 und so, aber ich glaubs dir ma ^_^

jetzt hab ich ja auch wieder ein mathebuch ^_^ (zimmerkollege wieda da), schau ich ma morgen da nochmal an ;)

klingt ja eh auch ganz plausibel, aba musste einfach nachfragen ^_^

[wolti]

Naja... Es liefert mal bis jetzt korrekte Ergebnisse. Betrachten wir es als Theorem und schauen ob sich vielleicht morgen in Mathe mein Theorem bestätigt, obwohl ich es eigentlich ja durch die Beispiele eh schon halb bewiesen habe.
Werde aber falls der Prof es morgen nicht so rechnet nach der Übungsstunde noch ihn Fragen.
Also.. Bis morgen um 14:30 dann *grins*.

[Xellos]

naja, um die korrekten ergebnisse gehts ja auch gar nich ^_^

korrekte ergebnisse hab ich mit meinem gepansche auch ^_^ nur hab ich mirs halt ohne unterlagen überlegen müssen, alsooooo....

was ich meinte, war ja keinesfalls, dass du wo lücken oda so drin hast, es is mir einfach derzeit noch nich ganz geheuer, weil ich den unmittelbaren zusammenhang zwischen der determinante/bzw. der Primfaktorenzerlegung derselben und gewissen Eigenschaften der Matrix noch nicht komplett logisch erfasst hab, dass gibt sich denn, wenn ich mich aufraff, und mal 3 minuten im mathebuch nachlese ;)

also, die 'kritik' war keine kritik, sondern nur ein nachfragen ;) nachdems funktioniert, hab ich eigentlich keine zweifel, dass's in Ordnung geht *g* und dass's der Prof auch so machen würd. Aba mir hat halt ne background-erklärung gfehlt, und im Netz suchen hab ich nich als zielführend befunden, zu dem is ja des forum da, und im buch nachschauen konnt ich nicht, das war ja nich da :)

also denn, bis morgn, freu mich schon.

[wolti]

Ich wollte das auch jetzt auf keinen Fall irgendwie aggresiv rüberbringen. Tut mir sorry falls ich da vielleicht irgendwie zu stark auf meine Lösung bestanden habe. Also fass es bitte nicht als Kritik zu deiner
Lösung auf.
Ich würde sagen sowas fördert einfach nur das Verständniss, denn wenn zwei Leute etwas auf eine andere Art lösen kann man sehr gut drüber disktuieren und für mich war es eine Anregung mein eigenes Zeug nocheinmal zu überprüfen. (Was ich sonst aus lauter Bequemlichkeit sicher nicht getan hätte).
Und den einen Fehler im 180 ist mir auch erst dank dir aufgefallen, nämlich, dass die Wurzel 3 nicht in Q vorkommt..

Also Danke und schönen Abend noch,
Wolti

[Xellos]

och, oki ^_^

freunde?!
*g*

und is nich zu aggressiv rübergekommen, ich mein, stimmen tut alles, wiss ma ja ;) nur deins is eben leichter zu rechnen, aber schwerer zu verstehen(zusammenhangmässig) *g* aber hast recht, wenn irgendwas, dann förderts das verständnis, wenn ma verschiedene lösungen hat...

hoffe auf weitere so gute zusammenarbeit ;)

also auch noch schönen abend, und bis morgen ;)

[rogov]

Morgen!
Ich finde den Lösungsweg von Trivial eigentlich sehr gut. Er muß nur dass mit den Restklassen beachten. Dass er eben bei Z_3 die Matrix mit mod3 umformt.
Dann müsste es doch stimmen oder?

[Xellos]

du, wolti...noch ne kleine frage...det 18?....

für mich is das

(6 3 7)
(8 5 9)
(9 3 10)

6*5*10+3*9*9+7*8*3-7*5*9-3*8*10-6*9*3=300+243+168-315-240-162=711-717=-6 als Determinante des Ursprungsystems...

ich mein, man kann über Betrag gehen...dann is wieder 2*3...
humm...naja, wollts dir nur noch sagen, auch wenn ich nich glaub, dass du vor der stunde nochmal reinguckst...vielleicht während ;)