Bsp. 180

[Xellos]

Eine nicht reguläre Matrix A €K^n*n heisst singulär.
Eine quadratische Matrix A €K^n*n ist genau dann regulär, wenn rg(A)=n

d.h. wenn wir es schaffen, für die 3*3 Matrix durch Einfügen unserer Elemente einen Rang < 3 zu erreichen, ist sie singulär.

d.h.

(x 2 2)
(1 1 x)
(1 x -1)

(x 2 2)
(0 1-2/x x-2/x)
(0 x-2/x -1-2/x)

wir müssen nun eine abhängigkeit zwischen zeile 2 und 3 herstellen. d.h. der verhältnis a22:a23 muss dem verhältnis a32:a33 entsprechen da sie dann voneinander abhängig sind.

(1-2/x)/(x-2/x)=(x-2/x)/(-1-2/x)

aufgelöst ergibt das (x^2-2x)(-x^2-2x)=(x^3-2x)^2, oder
-x^4+4x^2=x^6-4x^4+4x^2
das ist wiederum 0=x^6-3x^4, oder, für Q meines Wissens nach 0.

edit:rechenfehler *g* x^3*x^3=>x^6, nicht x^9 ;)
ps: murmel: 0=x^6-3x^4 komm ich auch auf sqrt(3) als lösung :) in R-...leider samma in Q. aber auch wenn dein's leichter geht, seh ich das gleiche Ergebnis mal als bestätigung von meinem Rechenweg ;) hab schließlich schon die Reinschrift gemacht *gg*

Test:
(0,2, 2)
(1,1, 0)
(1,0,-1)

=>

(1, 1, 0)
(0, 2, 2)
(0,-1,-1)
in der Tat ist dabei die 3tte Zeile ein vielfaches(-1/2) faches der zweiten.


Das ganze hab ich mir aber selber zurechtgedacht :/ Etwaige Fehler sowohl rechnerischer wie auch überlegerischer Art bitte aufzeigen-

[trivial]

nur da weis ich nicht wie ich das machen soll und ob du es richtig hast. es ist irgenwie logisch aber nicht alles was logisch ist muss richtig sein!oder?

[Xellos]

hehe, ja, deswegen ja auch die warnung, das das alles selber zurecht-gemetzelt wurde ;)
ich seh ja dann eh, was der urbanek dazu sagt-

[trivial]

Naja beim Urbanek ist das eh halb so schlimm wenn du falsch gerechnet hast!
Stell dir vor wir hätten den Baron!
Ich versuchs und falls ichs schaff schreib ich!

[Murmel]

So hab ich mir das zuerst auch gedacht, aber eigentlich ist es ja nur herumprobieren.

Nach ein paar Recherchen im Internet hab ich folgende Methode gefunden : Eine singuläre Matrix A hat immer det(A) = 0. Wir benutzen also die nette lange Formel von s. 122 oben im Buch um die Determinante auszurechnen und erhalten 0=-x^3+3x

Wie du dann merkst stimmt dein Ergebnis 0 schon, aber es ist nicht komplett, Wurzel aus 3 ist ebenfalls Lösung.

[Xellos]

hehe, naja, als herumprobieren würd ichs auch nicht grad bezeichnen, egal. Danke jedenfalls. Ich denk mal, mit Determinante=0 setzen kann ma leichter rechnen, vor allem bei größeren Matrizen...

ABER: schau nochmal...Lösungsmenge in Q, ich bezweifle, dass du die Wurzel aus 3 als Bruch darstellen kannst? kann mich natürlich täuschen, aber...ich hab die absichtlich nich drin *g*

[Murmel]

ups, stimmt, du hast gewonnen =)

[wolti]

Ich habe auch Determinate 0 gesetzt und habe als Lösung erhalten:

L = { sqrt(3) * x | x e Q}

[Xellos]

hm. mit ein paar zeilen extra? murmel hats ja auch so gerechnet, und ist eher auf potentielle lösung x=sqrt(3) gekommen genau wie ich, statt auf x*sqrt(3) für alle(!) x€Q... abgesehen davon, müsstes du ja für x in die Matrix einsetzen, d.h. du bräuchtest wieder ein sqrt(3) in Q, weil du den Faktor sonst nicht hättest.

Null als Lösung übersehen hast wenigstens nicht ^_^ Weil 0*sqrt(3)=0 ist :)

schau ma mal für x=4(€Q)

y=sqrt(3)*4

y 2 2
1 1 y
1 y -1

Det=-y+2y+2y-2+2-y^3=3y-y^3=12*sqrt(3)-(sqrt(3)*4)^3=20,78-6,93^3=-311,77

-311,77!=0...
rechenfehler? :)

[wolti]

nein.. schreibfehler von mir. wollte das ganze eigentlich so anschreiben --> Abkürzen ist halt doch nicht immer so das ware *g*.

L = {x | x &isin; Q, x = &radic; 3 * z1/n1, z1/n1 = 1 &or; z1/n1 = 0}

Also z.B. &radic;3*4/4 oder &radic(3). War woll etwas zu schnell mit dem abkürzen.
Aber ich habe das ganze eigentlich ohne probieren gemacht. Ich habe den Ansatz über det = 0 gemacht und dann das GL System gelöst. Eine Lösung war 0 und die anderen waren, dass der Zähler ein &radic;3 faches des Nenners ist.

[Xellos]

also eh dasselbe ergebnis wie ich und murmel ^_^

jetzt musst mir nur noch erklären, wo du ihn 'Q' die sqrt(3) herkriegst ;)

[wolti]

okay.. stimmt. ist nicht in Q, also lassen wir die Wurzel 3.