beispiel 153

[Conny]

hi!
hat vielleicht jemand von euch zufällig schon das beispiel 153 gelöst? ich stecke nämlich bei der hälfte fest! wäre dankbar für jeden lösungsvorschlag!
conny

[Murmel]

Auf dem PDF doc von letzter Woche ist dafür auch noch die Lösung drauf:
http://studium.roedlach.at/downloads/2001-01-08.pdf
(Seite 4)

Ich wär echt dankbar wenn jemand sie mir erklären könnte *g*

[CornedBee]

Hab da Probleme mit dem Umformen von Termen mit dem Summenzeichen drin. Gibts da irgenwo Regeln dafür?

[CornedBee]

Ok, ich glaub ich kann die Lösung erklären, gebt mir ein bissl Zeit.

[CornedBee]

S0(term) ist die Summe k=0 bis n von term
S2(term) ist die Summe k=2 bis n von term

Beweis dass l.A.:
A(l*a+m*b) = l*A(a)+m*A(b)
Einsetzen:
A(l*S0(ak*x^k)+m*S0(bk*x^k)) =
nach üblichen Regeln (herausheben und so)
= A(S0(x^k*(l*ak+m*bk))) =
Abbildung anwenden
= S2((k*(k-1)x^k)(l*ak+m*bk))

Andere Seite:
l*A(S0(ak*x^k))+m*A(S0(ak*x^k)) =
Abbildung anwenden
= l*S2(k*(k-1)*ak*k^(k-2)) + m*S2(k*(k-1)*bkx^(k-2)) =
wieder übliche Regeln
= S2((k*(k-1)*x^(k-2))(l*ak+m*bk))
Also ist bewiesen, dass beide Seiten equivalent sind -> l.A.

Um die Matrix zu bekommen, holen wir uns wie im PDF die Abbildungen der kommutativen Basis:

(1,0,0,0,0...0) -> (0,0,0,0,0...0)
(0,1,0,0,0...0) -> (0,0,0,0,0...0)
(0,0,1,0,0...0) -> (2,0,0,0,0...0)
(0,0,0,1,0...0) -> (0,6,0,0,0...0)
(0,0,0,0,1...0) -> (0,0,12,0,0...0)
... -> ...
(0,0,0,0,0...1) -> (0,0,0,0,0...n^2-n)

Die Matrix ist in der Form

/ a11 a12 a13 ... a1(n+1) \
| a21 a22 a23 ... a2(n+1) |
| . . . ... . |
| . . . ... . |
\ a(n-1)1 a(n-1)2 a(n-1)3 ... a(n-1)(n+1) /

Das (n+1) kommt daher, dass n bei 0 beginnt, die Numerierung der Matrix aber bei 1. Die Matrix ist eine nx(n-2)-Matrix, da sie n-Vektoren zu (n-2)-Vektoren transformieren muss. Bei der Transformierung gilt dann 1xn * nx(n-2) = 1x(n-2).

Durch die Art, wie Matrizenmultiplikation durchgeführt wird kommen wir dann auf das lineare Gleichunssystem
2 = 0a11 + 0a12 + 1a13 + 0a14 + 0a15 + ... + 0a1(n+1)
6 = 0a11 + 0a12 + 0a13 + 1a14 + 0a15 + ... + 0a1(n+1)
12 = 0a11 + 0a12 + 0a13 + 0a14 + 1a15 + ... + 0a1(n+1)
...
n^2 - n = 0a11 + 0a12 + 1a13 + 0a14 + 0a15 + ... + 1a1(n+1)

Woraus folgt:
a13 = 2
a24 = 6
a35 = 12
...
a(n-1)(n+1) = n^2-n

Also sieht die Matrix so aus:

/ 0 0 2 0 0 ... 0 \
| 0 0 0 6 0 ... 0 |
| 0 0 0 0 12 ... 0 |
| . . . . . . . |
| . . . . . . . |
\ 0 0 0 0 0 ... n^2-n /

Ich hoffe das war einigermaßen verständlich.

[Murmel]

thx, mit der kommutativen Basis hatte ich Probleme, aber jetzt wo ich weiß wie es heißt kann ich es nachschlagen

[lEn00x]

danke für die sehr gute erklärung.
Jetzt verstehe ich das Bsp.

[Deep Thought]

Ich bin der Meinung dass die Matrix so ausschaut:

/ 0 0 2 0 0 ... 0 \
| 0 0 0 6 0 ... 0 |
| . . . . . . . |
| 0 0 0 0 0 ... (n^2)-n /
| 0 0 0 0 0 ... 0 /
\ 0 0 0 0 0 ... 0 /

[Mario]

Zur Erklärung von CornedBee:

Beweis l. Abb:
LS: S2((k*(k-1)x^k)(l*ak+m*bk)) =
RS: S2((k*(k-1)*x^(k-2))(l*ak+m*bk))

Ich glaub oben wurde einfach das k-2 vergessen.

Bitte schreibt diesen "Beweis" auf keinen Fall einfach so ab. Ich seh grad da sind viele sochle schlampigkeits Fehler drin.

[Murmel]

@Deep Thought: Darf man die leeren Zeilen nicht einfach weglassen?

@Mario: Stimmt, ist mir heute auch aufgefallen. Überhaupt bin ich mir nicht sicher ob man es von beiden Seiten her beweisen muss, es ist ja nur eine Rechnung, nicht eine Äquivalenz. Ich hab am Schluss die beiden Ergebnisse einfach durch l*A(...a)+mü*A(...b) (bin zu faul das jetzt ganz auszuschreiben aber ihr wisst schon was ich meine) ersetzt.

[Spockman]

Es handelt sich um eine (n-2)xn Matrix - sie muss auf jeden Fall n Spalten haben, da ich sonst keinen n-dimensionalen Vektor mit ihr multiplizieren kann.