Bsp 7.6

[dj_m.o.h.t.]

Angabe: Man betrachte den folgenden zweistufigen Versuch: Zuerst wird zufällig eine Zahl aus 1, 2, 3, 4, 5 gezogen. Nachdem alle Zahlen, die kleiner als die gezogene Zahl sind (sofern vorhanden), "weggeworfen" wurden, wird eine Zahl zufällig aus den noch verbleibenden Zahlen gezogen. X und Y seien die bei der ersten bzw. zweiten Ziehung gezogenen Zahl. Ermitteln Sie:

(a) die gemeinsame Verteilung von (X,Y);
(b) die Randverteilung von X und Y;
(c) die bedingte Verteilung von Y, falls X=3;
(d) die bedingte Verteilung von X, falls Y=3.

Lösung:

P(Y=k|X=1)=1/4 (k=2, 3, 4, 5)
P(Y=k|X=2)=1/3 (k=3, 4, 5)
P(Y=k|X=3)=1/2 (k=4, 5)
P(Y=k|X=4)=1 (k=5)
P(Y=k|X=5)=0

(a) P(X,Y)=(1/5)*(1/(5-x))

(b) P1(X)=W(X=x)=(1/5)*(1/(5-x))*(5-x)=1/5
P2(Y)=W(Y=y)=(y-1)*(1/5)

(c) P(Y=k|X=3)=1/2

(d) P(X=k|Y=3)=1/2

[FaKe]

hat vielleicht jemand zu b eine genauere erklärung?

[SideshowRichie]

heißt das eigentlich, dass die erste gezogene zahl auch weggeworfen wird? in der angabe heißt es eigentlich nur die kleineren kommen weg...

Richie

[Irish]

Ja, ich find das auch etwas verwirrend... ich hab mir gemäß Robbys Rechnung eine Tabelle für die Punktwahrscheinlichkeiten gemacht, aber die kann nicht stimmen, weil die Gesamtsumme nicht 1 ist.

Und ich frag mich auch wie die Angabe zu verstehen ist, ich meine wenn die gezogene Zahl auch weggeworfen wird, heißt das ja das die Wahrscheinlichkeit für X=5 und Y=irgendeine Zahl immer Null ist, weil ja nichts mehr zum Ziehen da ist... Verwirrung!

:hewa:

[antifuchs]

Original geschrieben von Irish

Und ich frag mich auch wie die Angabe zu verstehen ist, ich meine wenn die gezogene Zahl auch weggeworfen wird, heißt das ja das die Wahrscheinlichkeit für X=5 und

Tjo, es steht "alle Zahlen, die kleiner als die gezogene Zahl sind (sofern vorhanden)". Da die Zahl selbst nicht kleiner als sie selbst ist, wird sie auch net weggeworfen (-:

[Irish]

Schon, aber es steht ja auch, dass aus den noch verbleibenden Zahlen gezogen wird. Und die Zahl selbst wurde ja schon gezogen und fällt daher weg - würde ich zumindest annehmen.

[Kuschelmaus]

schaut so aus wie wenn das interpretationssache is! ;) glaub wenn ma das gscheit argumentiern kann wie ma seins gmacht hat wird das kein problem sein

[Filz]

Wie wärs mit:

"die noch verbleibenden Zahlen" sind jene, die du nicht weggeworfen hast? :) also inklusive deiner Erstgezogenen?

[FaKe]

rechengang ist doch so ziemlich der selbe ... aber was ist mit b :)?

[antifuchs]

Hm, nochmal: es werden alle weggeworfen, die kleiner als die Gezogene sind. Die Bemerkung "(falls vorhanden)" sagt ja schon, dass die Gezogene nicht weggeworfen wird, und damit wieder bei der Ziehung Verfuegung stehen muss.

Oder so (-:

[antifuchs]

So, meine Loesung als .pdf (schoene LaTeX-Tabelle *jammie*) sieht so aus:

Ich hab' nach Buch Seite 56 und 53 eine 2dimensionale Wertetabelle gemacht. Die Verteilungsfunktion kann man sich dann ja eigentlich eh denken (hoffe ich).

c) und d) fehlen noch. Hat da jemand eine idee?

[antifuchs]

Gna. Ich denke fast, die Wahrscheinlichkeit von Y, wenn X=3 ist p^*_3(x), und die ist 1/5

Analog die von X, wenn Y=3 ist, und das ist 47/300 (-:

Einfacher geht's kaum. Beruehmte letzte Worte des Statistikhasen.


MIST! Das war vor der Aenderung flaschherum! (~5 minuten lang. Beruehmte letzte Worte des Abschreibenden? (-;)

[Irish]

Also die Tabelle sieht bei mir jetzt auch so aus.

Als Verteilungsfunktion hab ich einfach W(X,Y)=1/5 * 1/(6-x) genommen.

Bei b bin ich mir nicht sicher... ich hab 1/5 für a) aber was mach ich mit b)?

Bei c) kommt mir 1/3 heraus, ich hab die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit verwendet:
W(Y=k|X=3)= (1/5 * 1/3) / 1/5 = 5/15 = 1/3

analog für d) W(X=k|Y=3)= (0,116 * 1/5) / 0,116 = 1/5

[antifuchs]

Danke fuer die Korrektur der Verteilungsfunktion, da war meine Rechnung wirklich nicht korrekt (:

b) sind die randverteilungen, also p^*_2(y_{1...5}) fuer Y und p^*_1(x_{1...5}) fuer X.

Bei c und d denke ich, dass du dich vertan hast. Ich habe da die Randwahrscheinlichkeiten genommen; Bin mir aber auch nicht ganz sicher, welche von unseren Loesungen stimmt.