Bsp. 7.4

[dj_m.o.h.t.]

Angabe: Man betrachte eine Liste von 1 Million Zahlen. Es ist bekannt, dass das (arithmetische) Mittel der Zahlen 10, das (arithmetische) Mittel der Quadrate 101 ist.

(a) Man ermittle eine obere Schranke für die Anzahl der Zahlen aus der Liste, die größer oder gleich 14 sind.
(b) Wie lässt sich die Schranke von (a) verbessern, wenn bekannt ist, dass die Verteilung der Zahlen der Liste symmetrisch um 10 ist?
(c) Was lässt sich über die Anzahl von (a) sagen, falls die Zahlen der Liste (zumindest annähernd) normalverteilt sind?

Hinweis: Man verwende (für (a) und (b)) die Tschebyscheff'sche Ungleichung; die sG X repräsentiere dabei eine zufällig der Liste entnommene Zahl. Bei (c) braucht man einen genauen Wert für Phi(4) (Phi(4) gerundet 1 ist zu grob): der auf 6 Stellen genaue Wert ist 0.999968.


Lösung:

e...Epsilon

(a) W{|X-EX|>=e}<= VarX/(e^2)
VarX=E(X^2)-(E^2)(X)=>VarX=1
W{|X-EX|>=e}<= 1/(e^2)
W{|X-10|>=4}<= 1/16
X=1000000/16=>X=62500

(b) W{X>=14}<=1/32
X=1000000/32=>X=31250

(c) Phi(4)=0.999968
µ=10
VarX=1
1-W{X<=14}=0.000032
X=0.000032*1000000=>X=32
=> obere Schranke = 32

[Omerta]

gut, a) hab ich mir genau gleich überlegt.

[Almresl]

2 mädels denen ich zu gesehn habe haben es auch so gemacht!
waren sich aber nicht sicher ob es stimmt, weil die zahlen so komisch sind.
DANKE ROBBY

[dj_m.o.h.t.]

BITTE ALMRESL :D

[Omerta]

uhmm ja, DANKE ROBBI !. i war schon am verzweifeln vor deinen posts.

[Kuschelmaus]

hm, bin jetzt noch a bissl verzweifelt. wieso is e gleich 4? und wieso heißts bei a) W(|X-EX|>=e) aber bei b) nur W(X>=14) ???

[FaKe]

zu a

|x-10|>= 4

Wenn x >= 14 dann |14-10|>=4

[student]

hallo alle zusammen,

eine Frage:
Warum ist die VarX = 1?

[FaKe]

VarX = E(x²)-E²(x)
VarX = 101 - (10)²
VarX = 1

[student]

ahh, danke

[Kuschelmaus]

thanx FaKe !!!

[Omerta]

ähmm, ja, warum sinds bei b) 1/64 ? bitte um erleuchtung.

[Omerta]

*32 natürlich

[FaKe]

warum bei b 1/32

ich vermute das liegt daran:
das haben wir aus a
W{x>=14}<= 1/16
unter der annahme dass die Verteilung der Zahlen symmetrisch ist, die Hälfte davon
1/16 * 1/2 = 1/32
Vermute ich mal :)

[skytale]

Original geschrieben von FaKe
zu a

|x-10|>= 4

Wenn x >= 14 dann |14-10|>=4

Habs irgendwie nicht mit dem Verständnis dieser Ungleichung:rolleyes: Wenn X=3 -> |3-10|>=4 passt doch auch....

[Omerta]

des liegt an der tschebyscheffschen ungleichung:

W{|X-EX| >= e} <= Var(x)/e^2

wir wollen W{X > 14}.

ergo: für e= 4 einsetzen, dann hat man X-10 >= 4 => X>14.