Bsp 7.2

[dj_m.o.h.t.]

Angabe: X sei eine normalverteilte sG, X~N(µ, sig^2). Man ermittle für die transformierte sG: Y=((X-µ)/sig)^2

(a) die Verteilungsfunktion FY
(b) die Dichtefunktion fY (mit Zeichnung).

Lösung:

sig...Sigma
Int...Integral

F(x)=(1/sqrt (2*pi*(sig^2)))*Int -unendlich bis x (e^(-((x-µ)^2)/2*(sig^2))) dx

f(x)=(1/sqrt (2*pi*(sig^2)))*(e^(-((x-µ)^2)/2*(sig^2)))

(a) psi(x): Y=((x-µ)^2)/sig
sqrt Y = (x-µ)/sig
x = (sqrt Y)*sig+µ

FY=F((psi^-1)(x))=(1/sqrt (2*pi*(sig^2)))*Int x bis unendlich (e^(-(((sqrt Y)*sig+µ-µ)^2)/2*(sig^2)) dy = (1/sqrt (2*pi*(sig^2)))*Int x bis unendlich (e^(-(Y*(sig^2))/2*(sig^2)) dy = (1/sqrt (2*pi*(sig^2)))*Int x bis unendlich (e^(-Y/2)) dy = (1/sqrt (2*pi*(sig^2)))*(-2)*(e^(-Y/2)) | x bis unendlich = -(2/sqrt (2*pi*(sig^2)))*(e^(-x/2))

(b) (psi^-1)(Y)=(sqrt Y)*sig+µ
(d/dy)*(psi^-1)(Y)=(1/2)*(Y^(-1/2))*sig

=> fY=(1/sqrt (2*pi*(sig^2)))*(e^(-Y/2))*(1/2)*(1/sqrt Y)*sig = (e^(-Y/2))/(sqrt (8*sig*Y))

[FaKe]

Original geschrieben von Robby
(a) psi(x): Y=((x-µ)^2)/sig
sqrt Y = (x-µ)/sig
x = (sqrt Y)*sig+µ

FY=F((psi^-1)(x))=(1/sqrt (2*pi*(sig^2)))*Int x bis unendlich (e^(-(((sqrt Y)*sig+µ-µ)^2)/2*(sig^2)) dy = (1/sqrt (2*pi*(sig^2)))*Int x bis unendlich (e^(-(Y*(sig^2))/2*(sig^2)) dy = (1/sqrt (2*pi*(sig^2)))*Int x bis unendlich (e^(-Y/2)) dy = (1/sqrt (2*pi*(sig^2)))*(-2)*(e^(-Y/2)) | x bis unendlich = -(2/sqrt (2*pi*(sig^2)))*(e^(-x/2))


Mir ist hier der letzte Schritt unklar ... also von
(1/sqrt (2*pi*(sig^2)))*(-2)*(e^(-Y/2)) | x bis unendlich
auf
-(2/sqrt (2*pi*(sig^2)))*(e^(-x/2))

Beim Schranken einsetzten müsste doch eigentlich rauskommen:
Unendlich - (- (2/(sqrt(2*pi*sig^2)) * e^-(x/2))

[Kuschelmaus]

mir is da einiges unklar... :)

wieso steht da bei F(x) sig²? bei meiner gleichung im buch steht da nur sig. also entweder man quadriert alles (auch das X - u), weil ja die sG ein ² hat, oder man quadriert nix. was is jetzt richtig?

und was wird da genau bei b) gmacht?