Bsp 7.1

[dj_m.o.h.t.]

Angabe: Fortsetzung von Bsp 6.6: Ermitteln Sie für die sG Y:

(a) die Verteilungsfunktion (mit Zeichnung)
(b) die Dichte (mit Zeichnung).

Man verwende für (b) das Ergebnis von (a) als auch den Transformationssatz für Dichten.

Lösung:

det...deta

Y=psi(det)=cos(det)
P(X<=x)=x*(1/pi)
(a) G(x)=F((psi^-1)(x))=F(arccos(x))=arccos(x)*(1/pi)

(b) g(x)=f((psi^-1)(x))*|(d/dx)*(psi^-1)(x) = (1/(pi^2))*arccos(x)*|-1/sqrt (1-(x^2))|

[heder]

ad (a)
ArcCos[-1] = Pi
ArcCos[1] = 0

selbst um 1/Pi skaliert enspricht, dass nicht dem Verlauf einer Verteilungsfunktion

... ich habs noch nicht gerechnet, aber ich denke es wird wohl eher 1-ArcCos[x]/Pi sein

[#!/usr/bin/perl]

krieg auch

1 - (ArcCos[x] / pi) = (pi - ArcCos[x]) / pi

fuer die VF raus.

die Dichtefunktion ist dann durch

[1 - (ArcCos[x] / pi)] d/dx

gegeben, (ArcCos[x]) ' is ja -

1 / \Sqrt{1-x^2}

also is f(y)

1 / (pi * \Sqrt{1-y^2})

glaub ich zumindest

[skytale]

Kann vielleicht wer eine kurze Erklärung zu 1-arccos(x)/phi posten? thx!

...und bei der Ableitung von arccos gehört da nicht -1 ?

[FaKe]

keinen schimmer wo das 1-... herkommt .... stimmt da etwas bei P(X <= x) = x*1/pi nicht?

[jjan]

Meine Lösung:

a)

Dichtefunktion f(x) aus 6.6: f(x) = 1/pi

Verteilungsfunktion F(x) = (integral von 0 bis x) 1/pi dt

Y = cos(X)

Verteilungsfunktion G(x) von Y = (integral von 0 bis arccos(x) ) 1/pi dt

(folgt aus: G(x) = F( psi^(-1)(x) )

b)

Berechnung nach dem Transformationssatz:

g(x) = f( psi^(-1)(x) ) * ( d/dx psi^(-1) (x) )

= 1/pi * ( - 1/sqrt(1-x^2) )

Berechnung aus G(x):

G'(x) = d/dx (integral von 0 bis arccos(x)) 1/pi dt = - 1/( pi * sqrt(1-x^2) )

Wie man also sieht, kommt wie erwartet das Gleiche raus.

Mein Ansatz dazu, muss aber nicht stimmen.

[FaKe]

Original geschrieben von jjan
G'(x) = d/dx (integral von 0 bis arccos(x)) 1/pi dt = - 1/( pi * sqrt(1-x^2) )

Wie man also sieht, kommt wie erwartet das Gleiche raus.


Original geschrieben von #!/usr/bin/perl
1 / (pi * \Sqrt{1-y^2})

meintest du das die beiden gleich sind?
du hast da nämlich noch ein - dabei

[jjan]

Original geschrieben von FaKe




meintest du das die beiden gleich sind?
du hast da nämlich noch ein - dabei

D[ArcCos[x], x]
->> - 1/sqrt(1-x^2)

[FaKe]

ah ... mein lesefehler

[skytale]

Aber bei deiner Verteilungsfunktion kommt doch 1/phi *arccos(x) raus oder bin ich jetzt schon komplett verblödet:distur:

[Kuschelmaus]

Verteilungsfunktion G(x) von Y = (integral von 0 bis arccos(x) ) 1/pi dt

(folgt aus: G(x) = F( psi^(-1)(x))


hmm.... wie kommt ma auf das?

[jjan]

Original geschrieben von Kuschelmaus



hmm.... wie kommt ma auf das?

Hehe, na ja ...

Die Verteilungsfunktion F(x) = (integral von 0 bis x) 1/pi dt

G(x) ist nun F( psi^(-1)(x) )

psi^(-1)(x) = arccos(x)

Jetzt ersetzt Du in Deiner Verteilungsfunktion F jedes Vorkommen von x durch arccos(x). Damit sind wir auch schon beim Ergebnis.

[Kuschelmaus]

mhm, danke, das hilft ma weiter!

aber jetzt würd ich nur noch gern wissen, wie ma auf

G(x) = F( psi^(-1)(x) ) kommt ???

is das gegeben?

[Jensi]

Original geschrieben von Robby
Lösung:

det...deta

(hat mit der Lösung nichts zu tun, aber das Ding nennt sich "Theta")

[antifuchs]

Original geschrieben von Kuschelmaus
G(x) = F( psi^(-1)(x) ) kommt ???

is das gegeben? [/B]

Steht auf Buch Seite 73 (Satz 17.1) oder Folie mit dem Eck-Markierer 14.1 (Verteilung von Funktionen Stoch. Groeszen)

[Irish]

Original geschrieben von jjan
Berechnung nach dem Transformationssatz:
Wo find ich den? :confused:

EDIT: Und nachdem bei a) ja auch die Zeichnung gefragt ist, kann vielleicht jemdand posten wie die ungefähr aussehen soll? :engel:

[heder]

seite 74, da steht aber auch monton wachsende funktion und cos[x] ist streng monoton fallend auf dem interval [0,Pi]

[FaKe]

Original geschrieben von jjan
Berechnung nach dem Transformationssatz:

g(x) = f( psi^(-1)(x) ) * ( d/dx psi^(-1) (x) )

= 1/pi * ( - 1/sqrt(1-x^2) )

Wah ich mach mich mit dem Statistik noch selbst deppad ... i weiß nimma wie ma auf das ( -1/sqrt(1-x^2) kommt .... (3 Stunden nach dem eigentlichen rechnen für die feinschrift)

[wuz]

Original geschrieben von jjan
Meine Lösung:
...


Ok, ich finde deinen Ansatz gut, nur wenn man es zeichnet, dann
passt es irgendwie nicht.

Ich glaube, man muß das Zeug exakter angehen:

Y(x)=cos(x) * Interval[0,pi]

Die Umkehrfunktion ist daher

Y^-1(x)=arccos(x) * Interval[cos(0),cos(pi)] = arccos(x) * Interval[1,-1]

bzw. wenn man das Interval umdreht ergibt das

Y^-1(x)=arccos(-x) * Interval[-1,1]

=> G(x)=1/pi * arccos(-x) * Interval[-1,1]

Das wird auch klar wenn man sich das als Plot anschaut:

http://atad.at/uni/bsp7_1_1.gif

Und daraus ergibt sich natürlich

g(x)=1 / (pi * sqrt(1 - x^2))

Und hier der Plot dazu:

http://atad.at/uni/bsp7_1_2.gif

[Faceless]

@wuz:

jjans und deine lösung sind in meinen augen vollkommen ident ... (wenn ich imho berücksichtige, dass jjans "-" in der dichtefunktion nicht hingehört)

[Irish]

Original geschrieben von FaKe
Wah ich mach mich mit dem Statistik noch selbst deppad ... i weiß nimma wie ma auf das ( -1/sqrt(1-x^2) kommt .... (3 Stunden nach dem eigentlichen rechnen für die feinschrift)
Heh, das hat mich auch verwirrt. Eine Suche im Internet ergab dass das die Ableitung von arccos ist! In der Schule wurde das nicht einmal erwähnt und in meiner Formelsammlung war's auch nicht drin. :cuss:

[wuz]

Original geschrieben von Faceless
@wuz:

jjans und deine lösung sind in meinen augen vollkommen ident ... (wenn ich imho berücksichtige, dass jjans "-" in der dichtefunktion nicht hingehört)

Fast.... Ich habe in der => das - beim arccos vergessen, was eigentlich das wichtigste an meinem Posting war. :hewa:

Sonst währe ja die Verteilung fallend, und die Dichte negativ! Ich habs jetzt ausgebessert.