Bsp 6.6

[dj_m.o.h.t.]

Angabe: Deta sei eine auf dem Intervall (0,pi) kontinuierlich uniform verteilte sG. Man ermittle für die transformierte Größe Y=cos(Deta):

(a) den Mittelwert E(Y).

(b) die Streuung sqrt Var(Y).

Hinweis: Satz vom "unbewussten" Statistiker


Lösung:

el...element
Int...Integral

Deta el (0,pi)

E(psi(X)) = Int -unendlich bis unendlich psi(x)*f(x) dx

(a) E(Y) = Int 0 bis pi cosx*(1/pi) dx = sinx*(1/pi) |0 bis pi => E(Y)=0

(b) Int ((cos^2)x) = Int (1 - ((sin^2)x) dx = x - Int sinx*sinx = x + (cosx*sinx) - Int ((cos^2)x) dx

2 * Int ((cos^2)x) = x + (cosx*sinx)

Int ((cos^2)x) = (x+(cosx*sinx))/2

Var(Y) = E(Y^2)-((E(Y))^2) = Int von 0 bis pi ((cos^2)x) - 0 = (1/pi)*[(x+(cosx*sinx))/2] |0 bis pi = (1/pi)*(pi/2) => Var(Y) = 1/2

sqrt Var(Y) = sqrt 1/2

[Almresl]

das einzige was ich mich mal hier frage, wie du auf f(x)=1/pi kommst oder so...
und weiß jemand, was es mit diesem psi auf sich hat? was ist das genau, wie verwend ich das...

[FaKe]

keinen schimmer, aber ich hab mir gestern die sachen durchgerechnet und hab auch keinen bezug zu psi
bzw. was es imt dem 1/pi auf sich hat ...
die lösung die ich dafür rausbekommen hab, ohne dem, wäre dann pi/2 ...

[kb23kye]

pi/2 schein mir auch logisch zu sein wenn man sich die funktion anschaut... (bild ist anbei falls sich jemand eine cosinus funktion anschauen will)

.... aber wenn ich das 1/pi weglasse und integriere, dann habe ich doch eine reine sinus funktion --> und von 0 bis pi bekomme ich dann 0 raus....

EX = integral von 0 bis pi ( cos x dx) = sin x | 0 bis pi =
=sin Pi - sin 0 = 0

ist wahrscheinlich eh voll einfach - aber ich checke das einfach nicht

kann mir da jemand helfen? - greetings jürgen

[FaKe]

Original geschrieben von kb23kye
EX = integral von 0 bis pi ( cos x dx) = sin x | 0 bis pi =
=sin Pi - sin 0 = 0

ist wahrscheinlich eh voll einfach - aber ich checke das einfach nicht

kann mir da jemand helfen? - greetings jürgen

hm sprichst du grad den teil aus a an?
wenn ja

E(y) = int 0...pi cosx *(1/pi) dx =
sinx * (1/pi) | 0...pi

obere und untere grenze einsetzten .... pi ist ja 180° und sinus bei den 180 auf 0

(sin*0 * (1/pi)) - (sin*0 *(1/pi)) = 0
obere grenze - untere grenze

PS: ich weiß jetzt echt nicht ob ich dir damit helfen kann, weil eben nicht genau weiß was du meinst :)

Wahrscheinlich hab i nur grad an blödsinn geschrieben, der eh jedem klar is :(

[Irish]

Ich glaube das 1/pi kommt daher dass X uniformverteilt ist.

Laut Skriptum gilt dann:

f(x)=1/(b-a) in diesem Fall 1/(pi-0)=1/pi

[FaKe]

nur seh ich absolut keinen zusammenhang zwischen int 0...pi cos^2 x dx - 0^2
mich stört dabei das cos^2
hmhmm
mal sehen was die übung bringt ...