Bsp 6.5

[dj_m.o.h.t.]

Angabe: Berechnen Sie für den Ausfallszeitpunkt des Netzes von Bsp 5.3:

(a) den Mittelwert E(T).

(b) die Varianz Var(T).

Man nütze bei den Berechnungen der Dichte fz(t) zur Exponentialdichte und verwende bei (b) den Verschiebungssatz.

(z...Tau)


Lösung:

l...Lamda
Int...Integral

(a) E(T) = Int 0 bis unendlich 6*t*l*(e^(-2*l*t))*(1-(e^(-l*t)) dt = 6*l * Int 0 bis unendlich t*(e^(-2*l*t)) - t*(e^(-3*l*t)) dt = 6*l*[((-1/(3*l))*t*(e^(-2*l*t)) |0 bis unendlich) + (Int 0 bis unendlich (1/(2*l))*(e^(-2*l*t)) dt) + ((1/(3*l))*t*(e^(-3*l*t)) |0 bis unendlich) - (Int 0 bis unendlich (1/(3*l))*(e^(-3*l*t)) dt)] = 6*l*[-((1/(4*(l^2)))*(e^(-2*l*t)) |0 bis unendlich) + ((1/(9*(l^2)))*(e^(-3*l*t)) |0 bis unendlich)] = 6*l*[(1/(4*(l^2)))-(1/(9*(l^2)))] = (6/(4*l)) - (6/(9*l)) = (9-4)/(6*l) = 5/(6*l)

(b) Var(T) = E(T^2) - ((E(T))^2)

Int 0 bis unendlich (t^2)*6*l*(e^(-2*l*t)*(1-(e^(-l*t))) dt = 6*l*[Int 0 bis unendlich (t^2)*(e^(-2*l*t)) - t*(e^(-3*l*t)) dt = 6*l*[(-(1/(2*l))*(t^2)*(e^(-2*l*t)) |0 bis unendlich) + (Int 0 bis unendlich 2*t*(1/(2*l))*(e^(-2*l*t)) dt) + ((1/(3*l))*(t^2)*(e^(-3*l*t)) |0 bis unendlich) - (Int 0 bis unendlich 2*t*(1/(3*l*))*(e^(-3*l*t)) dt)] = 6*l*[(Int bis unendlich (1/(2*(l^2)))*(e^(-2*l*t)) dt) - (Int 0 bis unendlich (2/(9*(l^2)))*e^(-3*l*t)) dt)] = 6*l*[-((1/(4*(l^3)))*(e^(-2*l*t)) |0 bis unendlich) + (2/(27*(l^3)))*(e^(-3*l*t)) |0 bis unendlich)] = 6*l*[(1/(4*(l^3))) - (2/(27*(l^3)))] = (6/(4*(l^2))) - (12/(27*(l^2))) = (27-8)/(18*(l^2)) = 19/(18*(l^2))

[kb23kye]

zu a)

da ist mir ein kleiner fehler aufgefallen:

)) ....dt = 6*l*[((-1/(3*l))*t*(e^(-2*l*t)) |0 bis unendlich) + (Int...

da gehört statt (-1/(3*l)) (-1/((2*l)) würde ich mal so sagen...


zu b)

erste zeile ganz rechts
....e^(-2*l*t)) - t*(e....

da gehört t^2 statt nur t oder?

das ändert dann die ganze rechnung....
und zum schluss gehört die ganze wurscht auch noch in die formel der varianz eingesetz - das was da berechnet wurde ist E[X²] und nicht E[X²] - (E(X))²

greetings jürgen

[skytale]

Die Lösung von 5.3 lautet doch:
6*| *(e^-2*|*t - e^-3*|*t)

Wo kommen beim Integral auf einmal die zusätzlichen t vor den e-Funktionen her?
thx!

[jeuneS2]

...die t's kommen aus der Erwartungswertformel... zu den t^2: die kommen NICHT in den e-Funktionen vor (s. Satz vom unbewussten: psi(x)f(x) = (t^2)*f(t))...
und zu guter letzt hab ich beim Erwartungswert das gleiche, aber bei der Varianz 175/(36*l^2)... is aber von Hand gerechnet, also keinerlei Garantie...

[ChW]

Wenn's jetzt nur um die Integrale geht: Mathematica ist da der selben Meinung wie Robby. (Bei den Ergebnissen, bin zu faul, das von Hand zu rechnen)